率数学 本堂 第六章习题课 1.定积分的应用 几何方面：面积、体积、弧长、表面积 物理方面：质量、作功、侧压力、引力、 2.基本方法微元分析法 微元形状：条、段、带、片、扇、环、壳等
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第六章习题课 1. 定积分的应用 几何方面 :面积、体积、弧长、表面积 . 物理方面 :质量、作功、侧压力、引力、 2. 基本方法 微元分析法 : 微元形状 :条、段、带、片、扇、环、壳 等
典型例题 例1 1) 已知 星形线 (a>0) 0 0 y=asin3 t 求1°它所围成的面积； 2°它的弧长： 3它绕x轴旋转而成的旋转体 体积及表面积
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1 3 3 0 0 0 cos ( 0) sin 1 ; 2 ; 3 . x a t a y a t = = 已知 星形线 求 它所围成的面积 它的弧长 它绕x轴旋转而成的旋转体 体积及表面积 − a a o y x 典型例题
方本堂 解1°设面积为A.由对称性，有 A=4 asint.3acos -sint)dt =1ri水dn-sinw-a2 2°设弧长为L.由对称性，有 dt=f3acostsintdt =6a
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解 1 . 0 设面积为 A 由对称性,有 = a A ydx 0 4 = − 0 2 3 2 4 asin t 3acos t( sin t)dt = − 2 0 2 4 6 12 a [sin t sin t]dt . 8 3 2 = a 2 . 0 设弧长为 L 由对称性,有 = + 2 0 2 2 L 4 (x ) ( y ) dt = 2 0 4 3acostsin tdt = 6a
3设旋转体的表面积为S,体积为V. 由对称性，有 S=2"2my+d =4n asint.3acostsintdt 22. 5 V=2dx =2xa'sin't.3acos't-sint)dr -Gxa fsin'(1-sin'()dt -2 a3. 05
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 3 , . 0 设旋转体的表面积为 S 体积为V 由对称性,有 = + a S y yx dx 0 2 2 2 1 = 2 0 3 4 asin t 3acostsin tdt . 5 12 2 = a = a V y dx 0 2 2 = − 0 2 2 6 2 2 a sin t 3acos t( sin t)dt = − 2 0 3 7 2 6 a sin t(1 sin t)dt . 105 32 3 = a
苏本堂 例2.求抛物线y=1-x2在(0,1)内的一条切线，使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解：设抛物线上切点为M(x,1-x2) 则该点处的切线方程为 Y-1-x2)=-2x(X-x) 它与x,y轴的交点分别为 A(,0),B(0,x2+1) 所指面积 500-号-ar-号 4x
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 求抛物线 在(0,1) 内的一条切线, 使它与 两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小. 解: 设抛物线上切点为 则该点处的切线方程为 它与 x , y 轴的交点分别为 所指面积 M B A