元素的幂的定义及性质 元素的幂运算定义 设V=<S,o>为半群，对任意x∈S,规定： xl=x x+1=x"o飞， n∈Z 幂运算规则： xn O xm=xn+m (xh)m-xnm m,n∈Z 证明方法：数学归纳法
元素的幂的定义及性质 元素的幂运算定义 设V=<S, >为半群，对任意 x∈S，规定： x 1 = x x n+1 = x n x, n∈Z+ 幂运算规则： x n x m = x n+m (x n ) m= x nm m, n∈Z+ 证明方法：数学归纳法
半群与独异点的子代数 ■半群V=<S，。>是独异点，则还可以定义 x的零次幂，即x=e 定义半群（或独异点）V=<S，。>的子代数 称为子半群（或子独异点）
半群V=< S , >是独异点,则还可以定义 x的零次幂，即x 0=e 定义 半群 (或独异点)V=< S , > 的子代数 称为子半群 (或子独异点). 半群与独异点的子代数
半群与独异点的子代数的判定 判断方法 设V=<S,o>为半群，T是V的子半群当且仅当T 对0运算封闭。 设V=<S,o,e>为独异点，T是V的子独异点当且 仅当T对o运算封闭，且e∈T。 实例： <Z+,+>,<N,+>是<Z,+>的子半群，<N,+>是<Z,+> 的子独异点，<Z+,+>不是<Z,+>的子独异点
半群与独异点的子代数的判定 判断方法 设 V=<S,>为半群，T 是 V 的子半群当且仅当 T 对 o 运算封闭。 设 V = <S, , e>为独异点，T 是 V 的子独异点当且 仅当 T 对 o 运算封闭，且 e T 。 实例： <Z+ ,+>, <N,+>是<Z,+>的子半群，<N,+>是<Z,+> 的子独异点， <Z+ ,+>不是<Z,+>的子独异点
半群与独异点的直积 定义半群（或独异点）V1=<S,。>,V2=<S2,*>. 令S=S1×S2并定义S上的·运算如下： V<a,b>,<c,d>ES, <a,b><c,d>=<a c,b*d> 称<S,>为V1和V2的直积，记作V1×V2 可以证明：V1×V2仍为半群（或独异，点）
半群与独异点的直积 定义 半群(或独异点)V1 =< S1, >, V2 =<S2,*>. 令S=S1 S2 并定义S上的 运算如下: <a,b>,<c,d> S, <a,b>·<c,d>= <a c,b*d> 称<S, ·>为V1和V2的直积,记作V1 V2 可以证明：V1 V2仍为半群(或独异点)
半群和独异点的同态 F定义(1)设V=<S1,>,V2<S2,*>是半群，p: S1→S2.若对任意的K,y∈S有 p(xov)=p(x)p(y) 则称φ为半群V到V,的同态映射，简称同态。 (2)设V1=<S1,o,e1>,V2=<S2,*,e2>是独异点， p:S1→S2若对任意的K,y∈S1有 p(xoy)=p(x)*(y)(e)=e2, 则称φ为独异点V,到V,的同态映射，简称同态
半群和独异点的同态 定义 (1) 设V1= <S1 , >，V2= <S2 ,∗>是半群，： S1→S2 . 若对任意的 x, y∈S1有 (xy) = (x) ∗ (y) 则称 为半群 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态. (2) 设V1 = <S1 , ,e1>，V2 = <S2 ,∗,e2> 是独异点， : S1→S2 . 若对任意的 x, y∈S1有 (xy) = (x) ∗ (y) 且 (e1 ) = e2 , 则称 为独异点 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态