旋转体的体积 32 105 例3求摆线x=(t-sint),y=a(1-cost)的 一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋 转构成旋转体的体积. y(x) 解绕x轴旋转的旋转体体积 =2r( 7π0 2元i× =a(1-cost).a(1-cost)dt 2元 =ma3[(1-3cost+3cos2t-cos3 t)dt =5π2a3
旋转体的体积 V a x dx a a 3 3 2 3 2 = − − . 105 32 3 = a 例 3 求摆线x = a(t − sin t)，y = a(1− cos t)的 一拱与 y = 0所围成的图形分别绕x 轴 、y 轴 旋 转构成旋转体的体积. 解 绕x轴旋转的旋转体体积 a 2a y(x) V y x dx a x ( ) 2 2 0 = = − − 2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt = − + − 2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 . 2 3 = a
绕y轴旋转的旋转体体积 =x(y) 可看作平面图OABC与OBC A 2元0X 分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差. y,=元xot-元ch a'(t-sint)2.asin tdt -w["a'(t-sint).asintdt =π(t-sin2sind=6元a2
绕y轴旋转的旋转体体积 o y 2a x A 2a C B ( ) 2 x = x y ( ) 1 x = x y 可看作平面图OABC与OBC 分别绕 y轴旋转构成旋转体的体积之差. V x y dt a y ( ) 2 2 0 2 = x y dt a ( ) 2 2 0 1 − = − 2 2 2 a (t sin t) asin tdt − − 0 2 2 a (t sin t) asin tdt = − 2 0 3 2 a (t sin t) sin tdt 6 . 3 3 = a