§2标准正交基 二、施密特( Schmit正交化方法求标准正交基 下面讨论由Rm的一组基构造R的标准正交基的方法,为直观起见,先 从R3开始讨论 为了便于讨论,首先介绍一个向量在另一向量上的投影及校影向量 a在B上的投影为:a|cos(a,B)=|a (a,B)(a,B) a‖B a在B上的投影向量为: c,B∈R3 (aB)β(a2B)β B B||B|B‖B (B,B) 「第五章欧氏空闻
第五章 欧氏空间 下面讨论由 Rn的一组基构造 Rn的标准正交基的方法, 为直观起见, 先 从 R3开始讨论. o , R3 在 上的投影为： | || | ( , ) | | cos( , ) | | . | | ( , ) 在 上的投影向量为： | || | ( , ) | | | | ( , ) . ( , ) ( , ) 为了便于讨论,首先介绍一个向量在另一向量上的投影及校影向量. §2 标准正交基
设a,a,a是R3的一组基,令B1=a1,将α在B上的投影向量记为a2’,则 a′=k12月,其中 (a2,月) B a1=B1 再取B2=a2-a2=a2-k2B1, 则B2⊥B Bi 将a在月,B2上的投影向量分别记为a3,ax3,a3在B,B2所在平面上的投影向量为 则y3=a3+a32=kB1+k2B 其中k3 (B,B),2=(a21B (a3,月) (B2,月2) Ex B=a3-r=a,, -,B B 则B3⊥B1,B⊥B2 B 因此B1,B2,B3是两两正交的非零向量组 及2 再将B1,月,B3单位化, 即取n= (=1,2,3) 则n,n23就是R3的一组标准正交基 第互章欧氏空闾
第五章 欧氏空间 设1 , 2 , 3是 R3 的一组基, 令1 = 1 , 将2在 1 上的投影向量记为 2 , 则 2 = k12 1, 其中 . ( , ) ( , ) 1 1 2 1 12 k 2 2 o 1 1 再取 ' , 2 2 2 2 121 k 则 2 1 . 1=1 2 2 2 2 2 o 将 在 1 , 2上的投影向量分别记为 , , 2 3 1 3 3在 1 , 2所在平面上的投影向量为 3 . 则 2 3 1 3 3 , 131 23 2 k k 其中 , ( , ) ( , ) 1 1 3 1 13 k . ( , ) ( , ) 2 2 3 2 23 k 3 1 3 2 3 1 2 3 取 3 3 3 , 3 131 23 2 k k 则 , 3 1 . 3 2 因此 1 2 3 , , 是两两正交的非零向量组. 再将 1 2 3 , , 单位化, 即取 , (i 1, 2, 3), i i i 1 2 3 则 , , 就是R3 的一组标准正交基. 1 1 3 2 3 2 3 3 3 上一页
般地,设…∝"是R中的一个线性无关组,取 B1=a1 B2=a2 (a2,月 月,B1) B3=a3 (B1,B1)"(B2,B2 B B P P (B1,B1)(B2,B2) (,.)Bn-1 容易验证B1,B2…,Bn两两正交,上述由a,…,am得到B,B,…Bn 的过程称之为向量组的正交化 将这个正交化的向量组再单位化,即取 1,2, 就得到正交的单位向量组η1,m2,…,7n,称之为标准正交组 上述从线性无关组求得标准正交组的方法称为施密特( Schmit)正交化方法 「华五章欧氏坌间
第五章 欧氏空间 一般地, 设 m , , , 1 2 是 Rn中的一个线性无关组, 取 ; 1 1 ; ( , ) ( , ) 1 1 1 2 1 2 2 . ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 m m m m m m m m m ; ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 容易验证 m , , , 1 2 两两正交, 上述由 m , , 1 得到 m , , , 1 2 的过程称之为 将这 个正交化的向量组再单位化, 即取 i m i i i 1, 2, , 就得到正交的单位向量组 , , , , 1 2 m 称之为 上述从线性无关组求得标准正交组的方法称为 上一页
例 设R3的一组基为a1=(1,2,-1),a2=(-1,3,1),a3=(4,-1,0),试用施 密特正交化方法构造R3的一组标准正交基 取B1=ax1 (a2,B1) B1=( 4 (B1,B1) 3,1)--(1,2,-1)=(-1,1,1 ("B)、,(bB 8)日(∝3b) 0)-;(T-1)+(-了n)=J0n) 取 B1|√6 1=1B21 (-1,1,1 B3 I (1,0,1) 则,72,73便为所求的一组标准正交基 第互章欧氏空闾
第五章 欧氏空间 例 1 设 R3的一组基为 1 = (1, 2, 1), 2 = (1, 3, 1), 3 = (4, 1, 0), 试用施 密特正交化方法构造 R3的一组标准正交基. 取 1 = 1 , 1 1 1 2 1 2 2 ( , ) ( , ) (1, 2, 1) 6 4 (1, 3, 1) ( 1, 1, 1), 3 5 2 2 2 3 2 1 1 1 3 1 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( 1, 1, 1) 3 5 (1, 2, 1) 3 1 (4, 1, 0) 2(1, 0, 1), 取 | | 1 1 1 (1, 2, 1), 6 1 | | 2 2 2 ( 1, 1, 1), 3 1 | | 3 3 3 (1, 0, 1), 2 1 便为所求的一组标准正交基. 上一页 2 3 则 , ,
R中内积 R中内积—内积公理化定义 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● 两向量夹角向 量长度 三角不等式 余弦定理 勾股定理 几何空间—欧氏空间Rn-欧氏空间V 标准正交基 R3中向量积与混合积 欧氏空间的正交分解 直线、平面及其方程 曲线、曲面及其方程 匚第五章欧氏间
第五章 欧氏空间 R3中内积 两向量夹角向 量长度 三角不等式 余弦定理 勾股定理 几何空间 R3中向量积与混合积 直线、平面及其方程 曲线、曲面及其方程 Rn中内积 欧氏空间Rn 标准正交基 内积公理化定义 欧氏空间V 欧氏空间的正交分解 上一页