复变函数 3、求函数在某一点的幂级数展开 主要掌握间接展开法 sinz=sin(+x 1) =cos lsin(z-1)+sin I Cos(z-1) 再写出sin(z-1),Cos(z-1)的关于 z-1的展式,|z-1<∞
3、求函数在某一点的幂级数展开 主要掌握间接展开法。 例 sin sin(1 1) cos1sin( 1) sin1cos( 1) z x z z = + − = − + − 再写出 sin( 1),cos( 1) z z − − 的关于 z −1 的展式， z − 1
复变函数 例求函数f(x)=-在z=-1的邻域内的泰勒展式 并指出其收敛范围。 解 2(z+1)-33 +1 ∑ 203(二+1),2+1<3
例 求函数 1 ( ) 2 f z z = − 在 z = −1 的邻域内的泰勒展式， 并指出其收敛范围。 解 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 2 1 3 3 1 1 3 1 1 , 1 3 3 n n n z z z z z + = = = − − + − + − − = + +
0注意求函数在某一点的幂级数展开,即求这 个函数在这一点的泰勒展开,这一点必须是这个函 数的解析点才行,否则就不是泰勒展开,而是罗朗 展开了 在写展开式时,必须同时指明等式成立的范围 即泰勒展式的收敛圆,可利用“幂级数的和函数在 其收敛圆周上至少有一个奇点”的结论最后来确定。 记住一些初等函数的泰勒展式: SIn z cos z 等 1-z1+z
注意 求函数在某一点的幂级数展开，即求这 个函数在这一点的泰勒展开，这一点必须是这个函 数的解析点才行，否则就不是泰勒展开，而是罗朗 展开了。 在写展开式时，必须同时指明等式成立的范围 即泰勒展式的收敛圆，可利用“幂级数的和函数在 其收敛圆周上至少有一个奇点”的结论最后来确定。 记住一些初等函数的泰勒展式： 1 1 , , ,sin ,cos 1 1 z e z z − + z z 等
解析函数的零点的级 主要通过“求导”和“表示z-a)"(z),y(z)≠0 的形式”的方法做。 注意与奇点中极点的级的判别的对比、整理 (函数的零点首先必须是函数的解析点) 5、零点的孤立性、唯一性定理和最大模原理 零点孤立是解析函数所特有的性质,在理论 证明上有很有用(尤其在第七章的定理证明中 以看到)
4、解析函数的零点的级 主要通过“求导”和“表示 为 ( ) ( ), ( ) 0 m z a z z − 的形式”的方法做。 注意与奇点中极点的级的判别的对比、整理。 （函数的零点首先必须是函数的解析点） 5、零点的孤立性、唯一性定理和最大模原理 零点孤立是解析函数所特有的性质，在理论 证明上有很有用（尤其在第七章的定理证明中可 以看到）