x1 x+x X-X 2 取x3=x4=0,得特解n*=(-3,-2,0,0 取 故 ,从而导出组的 基础解系为51=(-1,2,0)y,2=(12-1,0,1) 方程组的通解为*+k1+k22k1,k2为任意常数 注:1.在求解线性方程组时,一定要将系数矩阵或增广矩阵化为 行最简形式,这样有利于求解 2.根据同解方程组(*)式写导出组的基础解系时,不要将常数 加进去
* ）（ .22 ,3 432 431 ⎩ ⎨ ⎧ −−= −+−= xxx xxx .)0,0,2,3(* 0 43 T 取 xx == ，得特解 η −−= .)1,0,1,1( ,)0,1,2,1( 1 1 2 1 1 0 0 1 1 2 2 1 4 3 T T x x x x −= −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 基础解系为 ξ ξ 取 ， ，故 ， ，从而导出组的 * ,, . 方程组的通解为 η + ξ + ξ kkkk 212211 为任意常数 注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为 行最简形式，这样有利于求解. 2. 根据同解方程组（ *）式写导出组的基础解系时，不要将常数 加进去
特殊方程组的求解 例6设A=(an)n是实正交阵,且a1=1,b=(10,…0)7 求方程组AX=b的解 解由于A=(an)xn为正交阵,故r(4)=m,所以方程组 AX=b有惟一解.又an=1,由正交阵的定义知: 100 o a A 22C 2n 0 nn 方程组为:
三. 特殊方程组的求解 . )( 6 ,)0,,0,1(1 11 求方程组 的解 设例 是实正交阵，且 ， bAX aA ba T nnij = = × == L 有惟一解 又 ，由正交阵的定义知： 解 由于 为正交阵，故 ，所以方程组 1 . )( )( = = = × = n nnij bAX a aA nAr , 0 0 0001 32 2322 2 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = nn nnn aaa aaa A L MMMM LL 方程组为：
a2xX2+…+a ann a.x+…+a.x.=0 故n=(10…,0)为其全部解 例7求x1+2x2+3x3+…+mxn=0的基础解系,并求 x+2x,+3x2+…+nx,=1的全部 3解 解4=(123…n)故r(4)=1,方程组的基础解系 含n-1个解向量 因为x=-(2x2+3x3+…+mxn),取
⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ =++ =++ = .0 ,0 ,1 22 222 2 1 n nnn nn xaxa xaxa x L LL L 故 )0,,0,1( 为其全部解. L T η = 32 . 1 32 7 0 321 321 的全部解 求例 的基础解系，并求 =++++ + + + + = n n nxxxx nxxxx L L ( ) . 1 321 1)( 含 个解向量 解 ，故 ，方程组的基础解系 − = = n A L Arn 因为 1 −= + 32( 32 +L+ nxxxx n )，取
0 0 0为一个基础解系 0 显然n*=(1,0,…0)是x1+2x2+3x3+…+mxn=1的 特解,其全部解可表示为 7*+k51+…+k215n1,k∈C,i=1,2,…,n
, 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 3 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ M L M MM n x x x . 1 0 0 ,, 0 1 0 3 , 0 0 1 2 则 1 2 1 为一个基础解系 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = M L MM n ξξ ξ n- 特解，其全部解可表示为 显然 η = L T 是 32 ,0)(1,0,* 321 L nxxxx n =++++ 1的一个 * .1,,2,1,, η + ξ 11 + L + ξ −− 11 inn ∈ = L niCkkk −
1-2100 例8已知B 23-20的行向量都是齐次线性方程组 32 的解向量试求方程组的一个基础解系 0122 0000 5433 解记方程组的系数矩阵为A,并求得r(A)=2,故基础解系 含5-2=3个解向量.又r(B)=3,且第一、二、四行的向量 构成向量组的一个极大无关组,即51=(,-2,10,0),2=(1-2, 00),53=(5,-60.0,1)线性无关,又都是方程组的解
. . 0 0 0 0 13345 62210 31123 11111 10065 02321 01021 00121 8 5 4 3 2 1 的解向量 试求方程组的一个基础解系 例 已知 的行向量都是齐次线性方程组 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − − = x x x x x B 线性无关，又都是方程组的解， 构成向量组的一个极大无关组，即 含 个解向量 又 ，且第一、二、四行的向量 解 记方程组的系数矩阵为 ，并求得 ，故基础解系 )1,0,0,6,5(,)0,1,0 ,2,1(,)0,0,1,2,1( 3)( . 325 2)( 3 1 2 T T T Br A Ar −= −= −= =− = = ξ ξ ξ