单侧导数与导数的关系 fx0)=Af(x0)=f+(x0)=A 注:下列函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义 (1)函数在个别点的函数值单独定义的,其余点的函数 值用统一解析式定义的(函数在个别点连续) (2)求分段函数在分段点的导数 例设f(x)= cosx,x≥0, 讨论f(x)在x=0处的左右 x<0 导数与导数
单侧导数与导数的关系: f(x0) = A f - (x0) = f + (x0) = A 注: 下列函数个别点的导数或左右导数应用导数的定义. (1) 函数在个别点的函数值单独定义的, 其余点的函数 值用统一解析式定义的(函数在个别点连续). (2) 求分段函数在分段点的导数. 例 . ( ) 0 , 0. 1 cos , 0, ( ) 导数与导数 设 讨论 在 = 处的左右 − = f x x x x x x f x
解由于 f(0+Ax)-f(0 cos△x △ △x<0, 因此 cos△v ft(0)= lim △x→>0 ∫(0)=ln 因为f(0)≠∫(0,所以在x=0处不可导
解 由于 − = + − 1, 0, , 0, 1 cos (0 ) (0) x x x x x f x f 因此 0, 1 cos 0 (0) lim = − → + = + x x x f 1 1 0 (0) lim = → − = − x f 因为 f + (0) f − (0),所以f 在x = 0处不可导
可以证明: 可导→连续。即可导是连续的充分条件 连续是可导的必要条件。 例4证明函数f(x)=x2Dx)在点x0=0处可导,其中D(x)为狄利克雷函数 证当x0≠O时,由归归结原理可得(x)在点x0=0处不连续,所以f(x) 在点x=x0处可导 当x0=O时,由于D(x)为有界函数,因此得到 f∫(0)=lim f(x)-f(0) lim xD(x)=0 x→>0 0 x→>0
( )仅在点 0 0处可导,其中 ( )为狄利克雷函数. 2 例4 证明函数 f (x) = x D x x = D x 在点 0处可导. 证 当 0 0时,由归归结原理可 ( )在点 0 0处不连续,所以 ( ) x x x f x x f x = 得 = ( ) 0. 0 lim 0 ( ) (0) 0 (0) lim 0 0 , ( ) , = → = − − → = = x D x x x f x f x f 当x 时 由于D x 为有界函数 因此得到 可导→连续。即可导是连续的充分条件。 可以证明： 连续是可导的必要条件
导函数 定义:若函数在区间/每一点都可导导(对区间端点仅考虑相应的 单侧导数,则称/l的可导函数 记作∫’,y或2,即 f(x=lm f(x+△x)-f(x) x∈Ⅰ △x→>0 例证明 ()(xn)y=nx1-,n为正整数 sin r)=cosx,(cos x SIn x (iii)(log a x) gae(a>0.,a≠1,x>0),特别(nx) x
二 导函数 特别 例 证明 (i) n n nx n x , 1 ( ) − = 为正整数. (ii) (sin x) = cos x, (cos x) = −sin x (iii) log ( 0, 1, 0), 1 (log ) = a e a a x x a x . 1 (ln ) x x = 单侧导数),则称 为 上的可导 . 若函数在区间 上 一点都可导 (对区间端点,仅考虑相应的 函数 每 导 f I I 记作 , 或 ,即 dx dy f y , . ( ) ( ) 0 ( ) lim x I x f x x f x x f x + − → = 定义:
证(i)和(i)的证明略. (i)下面只证第一个等式,类似地可证第二个等式由于 △ sin Smn(x+△x)-Snx 2sin-cos(x coS(x+ △x 又由cosx是(-∞,+∞)上的连续函数因此得到 (sin yy sn 2. lim cos(x+o)=cosx △x→>0Ax△x→>0
证 (i)和(iii)的证明略. (ii) 下面只证第一个等式, 类似地可证第二个等式. 由于 ) 2 cos( 2 2 ) sin 2 cos( 2 2sin sin( ) sin x x x x x x x x x x x x + = + = + − 又由cos x是(−, + )上的连续函数,因此得到x x x x x x x x ) cos 2 cos( 0 lim 2 2 sin 0 (sin ) lim = + → → =