2.切线的斜率 曲线y=f(x)在其上一点P(x0,y0) 曲线y=f(x)在其上一点P(x0,y0)处的切线P是割线PQ当动点 Q沿曲线无限接近与点P时的位置因为割线PQ的斜率为 k f(x)-f(x0) X-x 所以当x→>xo时如果k的极限存在,则极限 i f(x)-f(x0) x→>x0x-x0 即为曲线在点P的切线的斜率
2. 切线的斜率 沿曲线无限接近与点 时的位置 因为割线 的斜率为 曲线 在其上一点 处的切线 是割线 当动点 Q P PQ y f x P x y PT PQ . = ( ) ( 0 , 0 ) x Q 曲线 在其上一点 P(x 0, y 0) , 0 ( ) ( 0) x x f x f x k − − = 所以当x → x 0时如果k的极限存在, 则极限 y = f (x) 0 ( ) ( 0) lim 0 x x f x f x x x k − − → = 即为曲线在点 P的切线的斜率. O P T y
导数的定义 定义1:设函数y=x)在点x的某邻某邻域内有定义极限 f(x)-f(x0) x→x0 x-x 存在,则称函数在点x0处可导,并称该极限为函数/点x0 处的导数,记作f(xo) f(xo) m △x->0△x fx0+Ax)-fx0)(1) △x→)0 lim fx)-i(xo) x→>x0X=X0 若式极极限不存在,则称在点x0处不可导
一 导数的定义 x y x → = 0 f (x0) lim , ( 0 ). , 0 , 0 f x f x f x 处的导数 记作 存在 则称函数 在点 处可导 并称该极限为函数 在点 设函数y = f(x) 在点 x0 的某邻某邻域内有定义,极限 0 ( ) ( 0) lim 0 x x f x f x x x − − → 定义1: 即 x x0 f(x) f(x 0) lim f(x 0 ) f(x 0) 0 lim 0 − − → = + − → = x x x x x 若式极极限不存在，则称f在点 x0 处不可导. (1)
例求函数f(x)=x2在点x=1处的导数并求曲线在 点(1,1)处的切线方程 解:由定义求得 f1+△x)-f1) (1+△x) f(1) x→)x 2△x+△x lim =lm(2+△x)=2 Ax→>0 由此知道抛物线y=x2在点(1,1)处的切线斜率为 k=f(x)=2 所以切线方程为 1=2(x-1)思 2x-1
点(1 , 1)处的切线方程. 例1求函数 f (x) = x 2 在点x = 1处的导数,并求曲线在 解: 由定义求得 (2 ) 2 0 lim 2 2 0 lim x 1 2 (1 x) lim f(1 ) f(1) 0 (1) lim 0 + = → = + → = + − → = + − → = x x x x x x x x x x x f 由此知道抛物线 y = x 2 在点(1 , 1)处的切线斜率为 k = f (x) = 2 所以切线方程为 y −1 = 2(x −1) 即 y = 2x −1
例证明函数(x)=x在点x=0处不可导 证因为 f(x)-f(0) 0 x-0x-1,x<0 当x→>O时极限不存在所以f在点x=0处不可导 注 利用导数的定义可证,常量函数在任何点的导数为零, C′=0
例2证明函数f (x) = x 在点x 0 = 0处不可导. 证 因为 − = = − − 1, 0 1, 0, 0 ( ) (0) x x x x x f x f 当x →0时极限不存在,所以f 在点x = 0处不可导. 注: 利用导数的定义可证, 常量函数在任何点的导数为零, 即 C = 0
定义2:设肉数y=()在点x0的某邻域(x0,x0+6)上 有定义,若右极限 fx0+△x)-fx0 Ax→0 N△x→>0 A li ix)-ix0 0<△x<) x→)X +X-X0 存在则称该极限为在点x0的右导数,记作f(x0) 类似地,可以定义左导数 lin f(x0+△x)-f(x0) f(x)-f(O Ax→>0 x→X X-XO 0 左、右导数统称为单侧导数
(0 ) 0 x - x ) 0 f(x) f(x x lim ) 0 ) f(x 0 f(x 0 lim x 0 lim 0 − → = + − → = → + + + x x x x x x y 定义2: 限 域 有定义,若右极 设函数y = f (x)在点x 0 的某邻 (x 0 , x 0 + )上 存在,则称该极限为f 在点x 0的右导数,记作f + (x 0). 类似地, 可以定义左导数 0 x - x ) 0 f(x) f(x x lim ) 0 ) f(x 0 f(x 0 (x) lim / - f 0 - − → = + − → = − x x x x 左﹑右导数统称为单侧导数