§2运算及其性质 下面定义特异元素幺元,零元和逆元。 《定义》:设*是集合Z中的二元运算, )若有一元素e∈Z,对任_X∈Z有eX=x;则称e为Z 中对于*的左幺元(左单位元素) (2)若有一元素e∈z,对任一X∈Z有x*e=X;则称e为Z 中对于*的右幺元(右单元元素)。 《定理》:若e和e分别是z中对于*的左幺元和右幺元, 则对于每一个X∈Z,可有ee=e和e*X=x*e=x,则 称e为Z中关于运算*的幺元,且e∈Z是唯一的
§2运算及其性质 下面定义特异元素幺元,零元和逆元。 《定义》：设*是集合Z中的二元运算, (1)若有一元素el Z,对任一x Z有el *x=x；则称el为Z 中对于*的左幺元(左单位元素)； (2)若有一元素er Z,对任一x Z有x* er=x；则称er为Z 中对于*的右幺元（右单元元素）。 《定理》：若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元, 则对于每一个x Z，可有el= er = e和e*x=x* e=x，则 称e为Z中关于运算* 的幺元，且e Z是唯一的
§2运算及其性质 e1和e分别是对*的左,右左元, 则有e1*er=en=e1 有e=e=e成立。 (2)幺元e是唯一的。用反证法:假设有二个不同的幺 元e1和e2,则有e1e2=e2=e,这和假设相矛盾 若存在幺元的话一定是唯一的。 例 (1)在实数集合R中,对+而言,e+=0;对×而言,e.=1; (2)在p(E)中,对⌒而言,e≡E(全集合); 对∪而言,e=Φ(空集);
§2运算及其性质 ∵ el和er分别是对*的左,右左元， 则有el * er = er = el ∴有el = er = e成立。 （2）幺元e是唯一的。用反证法：假设有二个不同的幺 元e1和e2 ,则有e1 * e2= e2= e1 ,这和假设相矛盾。 ∴若存在幺元的话一定是唯一的。 例： （1）在实数集合R中,对+而言, e+=0；对×而言, e*=1 ； （2）在(E)中,对而言, e =E（全集合）； 对而言, e =（空集）；
§2运算及其性质 (3){双射函数}中,对“°”而言, e。=l(恒等函数); (4){命题逻辑}中,对而言,ey=F(永假式); 对∧而言,e=T(永真式)。 《定义》:设*是对集合乙中的二元运算, (1)若有一元素θ1∈Z,且对每一个X∈z有 01*X=θ1,则称θ1为Z中对于*的左零元; 2)若有一元素0∈Z,且对每一个x∈Z有 X*=6,则称θ,为Z中对于*的右零元
§2运算及其性质 （3）{双射函数}中,对“”而言， e =Ix（恒等函数）； （4）{命题逻辑}中，对∨而言，e ∨ =F（永假式）； 对∧而言， e ∧ =T（永真式）。 《定义》：设*是对集合Z中的二元运算， （1）若有一元素θl Z，且对每一个x Z有 θl *x= θl ，则称θl 为Z中对于*的左零元； （2）若有一元素θr Z，且对每一个x Z有 x* θr= θr ，则称θr为Z中对于*的右零元
§2运算及其性质 《定理》:若0和分别是Z中对于的左零元和 右零元,于是对所有的x∈Z,可有日1=日=0, 能使θ*×=x*θ=0。在此情况下,θ∈z是唯一的, 并称日是Z中对*的零元。 证明:方法同幺元。 例: (1)在实数集合R中,对×而言,θL=6=0 (2)在p(E)中,对⌒而言,0=Φ; 对∪而言,θ,=E; (3){命题逻辑}中,对而言,θ=T; 对∧而言,日=F
§2运算及其性质 《定理》：若θl和θr分别是Z中对于*的左零元和 右零元，于是对所有的x Z，可有θl = θr =θ， 能使θ*x=x*θ=θ。在此情况下，θ Z是唯一的， 并称θ是Z中对*的零元。 证明：方法同幺元。 例： （1）在实数集合R中，对×而言,，θL = θr =0 （2）在(E)中，对而言，θ = ； 对而言，θ = E ； （3）{命题逻辑}中，对∨而言，θ ∨ =T ； 对∧而言，θ ∧ = F
§2运算及其性质 《定义》:设*是Z中的二元运算,且Z中含幺元e, 令X∈Z, (1)若存在一X∈Z,能使X*X=e,则称X是x的左逆 元,并且称x是左可逆的; (2)若存在一X∈Z,能使x*x=e,则称X是x的右 逆元,并且称X是右可逆的; (3)若元素ⅹ既是左可逆的,又是右可逆的,则称 是可逆的,且x的逆元用x1表示
§2运算及其性质 《定义》：设*是Z中的二元运算，且Z中含幺元e， 令x Z， （1）若存在一xlZ，能使xl *x= e，则称xL是x的左逆 元,并且称x是左可逆的； （2）若存在一xr Z，能使x* xr = e，则称xr是x的右 逆元，并且称x是右可逆的； （3）若元素x既是左可逆的，又是右可逆的，则称x 是可逆的，且x的逆元用x -1表示