§2运算及其性质 《定义》:设*是集合S上的二元运算对任一Xy∈S有 Xy∈S则称*运算在S上是封闭的 《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,y∈S有 x*y=y*x,则称*运算在S上是可交换的(或者说*在S 上满足交换律)
§2运算及其性质 《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有 xy∈S则称运算在S上是封闭的。 《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有 xy=y x,则称运算在S上是可交换的（或者说在S 上满足交换律）
§2运算及其性质 《定义》:设*是集合S上的二元运算对任xyz∈S 都有 (x*y)*z=X*(y*z),则称*运算在S上是可结 合的(或者说*在S上满足结合律) 《定义》:设*和°是集合S上的二个二元运算 对任一xy,z∈S有 X*(y°z) (X y )°(X*Z); (y°z)*X=(y*)°(z*X),则称运算*对是 可分配的(或称*对°满足分配律)
§2运算及其性质 《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,y,z S 都有 （x y） z=x （y z）,则称运算在S上是可结 合的（或者说*在S上满足结合律）。 《定义》:设和是集合S上的二个二元运算, 对任一x,y,z S有 x （y z）=（x y） （x z）； （y z） x=（y x） （z x）,则称运算对是 可分配的（或称对满足分配律）
§2运算及其性质 《定义》:设*,△是定义在集合S上的两个可交换二元运 算,如果对于任意的xy∈S,都有: X*(xAy)=X;X△(X*y)= 则称运算*和运算△满足吸收律 《定义》:设*是S上的二元运算若对任 ⅹ∈S有X*￥=x,则称*满足等幂律 讨论定义: 1)S上每一个元素均满足X*X=x,才称*在S上满足幂等律; 2)若在S上存在元素X∈S有X米X=x则称x为S上的幂等元 素 3)由此定义,若X是幂等元素,则有X*X=x和x=x成立
§2运算及其性质 《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二元运 算，如果对于任意的x,yS，都有： x (x y)=x；x (xy)=x 则称运算和运算满足吸收律。 《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一 x S有x x=x,则称满足等幂律。 讨论定义： 1)S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2)若在S上存在元素xS有x x=x,则称x为S上的幂等元 素； 3)由此定义,若x是幂等元素,则有x x=x和x n=x成立
§2运算及其性质 例:(1)在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,X对+ 是满足分配律的“0”对+是等幂元素,而其它不为等幂元 素,对“-”法是不可交换,不可结合的; (2)在p(z)中,∩,∪均是可交换可结合的,∩对∪,∪对 ∩均是可分配的; p(az)中任一元素,对⌒,均是等幂元素。∴满足等幂律; 而p(z)中,对称差分⊕是可交换,可结合的 除p(s)={}以外不满足等幂律。∵Φ⊕Φ=Φ,而除Φ 以外的A∈p(2)有AeAA
§2运算及其性质 例：（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+ 是满足分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不为等幂元 素,对“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在(z)中, ,均是可交换,可结合的, 对, 对 均是可分配的； (z)中任一元素,对,均是等幂元素。∴满足等幂律； 而(z)中,对称差分是可交换,可结合的。 除(s) ={}以外不满足等幂律。∵ = ,而除 以外的A (z)有A A≠A
§2运算及其性质 《定义》:设*是S上的二元运算,对任一X∈S,则 x=x x2=x*x.x=xn-1*x 《定理》:设*是S上的二元运算,且X∈S,对任一m,n∈ 有 (1)x*x=x mtn (2)(x)=xmn 证明: (1)xx=(x*x)*X*,*X=(xm1*)*X*,…*x n-1 (2)(x)=Ⅻ*…,*难对m如*,Ⅻ=,,=xmn n-1
§2运算及其性质 《定义》：设*是S上的二元运算,对任一xS,则： x 1=x, x2=x*x,…xn=xn-1 *x 《定理》：设*是S上的二元运算,且x S,对任一m,n I+ 有 （1）x mx n=xm+n （2）(xm) n =xmn 证明： （1） x mx n= (xm x) x… x = (xm+1 x) x… x n n-1 =….= xm+n （2）(xm) n = xm … x m= xm+m x m … x m=…=xmn n n-1