§2运算及其性质 《定理》:设Z是集合,并含有幺元e。*是定义在Z上的 个二元运算,并且是可结合的。若X∈Z是可逆的, 则它的左逆元等于右逆元,且逆元是唯一的。 证明 (1)先证左逆元=右逆元: 设X和X分别是X∈Z的左逆元和右逆元 X是可逆的和*是可结合的(条件给出) .XX=XX=e X*×X=(x*X)*X=e*X=X; X X*X=X (X*x)=Xe=X X X
§2运算及其性质 《定理》：设Z是集合，并含有幺元e。 *是定义在Z上的 一个二元运算，并且是可结合的。若x Z是可逆的， 则它的左逆元等于右逆元，且逆元是唯一的。 证明： （1）先证左逆元=右逆元： 设xL和xr分别是x Z的左逆元和右逆元， ∵x是可逆的和*是可结合的（条件给出） ∴ xl *x=x* xr = e ∵ xl *x* xr =（ xl *x）* xr = e * xr= xr ； xl *x* xr = xl *(x* xr ) = xl * e = xl ∴ xr = xl
§2运算及其性质 (2)证明逆元是唯一的(若有的话): 假设x11和x21均是x的二个不同的逆元,则x1=x1*e= (X X)21=ex21=X2 这和假设相矛盾。 X若存在逆元的话一定是唯一的。 《推论》(x1)=x,e1=e 证明:∵X1xX=(X1)*(x1)=X*x 有(x)1=x e1*e=e=e*e∴有e 例:(1)在实数集合R中,对“+”运算,对任一X∈R有 X1=-x,∵X+(-X)=0,加法幺元
§2运算及其性质 （2）证明逆元是唯一的（若有的话）： 假设x1 -1和x2 -1均是x的二个不同的逆元，则x1 -1= x1 -1 *e= x1 -1 *（x* x2 -1 ）=（ x1 -1 *x）* x2 -1 = e * x2 -1 = x2 -1 ， 这和假设相矛盾。 ∴x若存在逆元的话一定是唯一的。 《推论》(x-1 ) -1 =x , e -1= e 证明：∵ x -1 *x= (x-1 ) -1 *（ x -1 ）=x* x-1 = e ∴有(x-1 ) -1 =x ∵ e -1 * e= e= e* e ∴有e -1= e 例：（1）在实数集合R中，对“+”运算，对任一xR有 x -1 =-x，∵x+（-x）=0，加法幺元
§2运算及其性质 对“×”运算,对任一X∈R有x1=1/(x:0) X×1/=1,乘法幺元; (2)在函数的合成运算中,每一个双射函数都是可逆的, f1(f的逆关系); (3)在所有的二元运算中,零元一定不存在逆元,θ*x=x*0=0。 《定义》设*是Z集合中的二元运算,且a∈Z和xy∈Z, 若对每一x,y有 (a*x=ay)y(x*a=y*a)→(X=y),则称a是可约的(或称可消去 的)
§2运算及其性质 对“×”运算，对任一x R有x -1 =1x（x0） ∵x× 1x =1，乘法幺元； （2）在函数的合成运算中,每一个双射函数都是可逆的， f -1（f的逆关系）； （3）在所有的二元运算中,零元一定不存在逆元，∵θ*x=x*θ=θ。 《定义》设*是Z集合中的二元运算，且a Z和x,y Z， 若对每一x，y有 （a*x=a*y）（x*a=y*a）（x=y），则称a是可约的（或称可消去 的）
§2运算及其性质 《定理》设*是Z集合中的二元运算,且*是可结合的, 若元素a∈Z,且对于*是可逆的,则a也是可约的。 (反之不一定,即可约的不一定是可逆的。) 证明:设任一x,y∈Z,且有a*X=a’y,下面证明 在*可结合和a对*是可逆的条件下,a是可约的 *是可结合的和a∈Z对*是可逆的(条件给出) a1*(a*x)=(a1*a)*x=e*x=X 而a1*(ay)=(a1a)y=ey=y,即X=y 由定义可知a是可约的
§2运算及其性质 《定理》设*是Z集合中的二元运算,且*是可结合的, 若元素a Z,且对于*是可逆的,则a也是可约的。 （反之不一定,即可约的不一定是可逆的。） 证明：设任一x，y Z,且有a*x=a*y，下面证明， 在*可结合和a对*是可逆的条件下，a是可约的。 ∵*是可结合的和a Z对*是可逆的（条件给出） ∴a -1*（a*x）=（ a -1 *a）*x=e*x=x 而 a -1 *（a*y）=（ a -1 *a）*y= e *y=y,即x=y。 由定义可知a是可约的
§2运算及其性质 下面举例证明,若元素是可约的,但不一定是可逆的。 例:为整数集合,对“×”运算,运算是可结合的。 任何非零元素均是可约的,但除1和(-1)以外其他元 素均没有逆元。11=1,(-1)1=(-1)。 例:z={0,1,2,34},定义Z中二个运算为 对任一X,y∈Z有 X+sy=(Xty) mod 5 X*sy=(X*y) mod 5
§2运算及其性质 下面举例证明，若元素是可约的，但不一定是可逆的。 例：I为整数集合，对“”运算，运算是可结合的。 任何非零元素均是可约的，但除1和（-1）以外其他元 素均没有逆元。1 -1=1 ，(-1)-1=(-1) 。 例：Z={0,1,2,3,4},定义Z中二个运算为， 对任一x，y Z有 x+5y=（x+y）mod 5 x5y=（xy）mod 5