第五次 P141习题3、2、29、30 cosX I 3x+ 3cosx x+sinx + sinx +3sin InIx'+sinx+C 3si 解:jx2(+hxx=」ed(mx) 习题4,(11) siNx 解: cOS CoSx = tannIns inx-「 tanx - d 3、P109,例3.5,习题3,选择题 4、∫SnXx e-an dx=tanxe -dtanx CoS X tanxi an dtanx tanx 5、设1(x(=asmx+C,则∫=-1V0-x)y+C
1 第五次 P141.习题 3、2、29、30 1、 + + = + + dx x 3sinx 3x 3cosx 3 1 dx x 3sinx x cosx 3 2 3 2 ( ) = + + + + = ln x 3sinx C 3 1 x 3sinx d x 3sin x 3 1 3 3 3 解： ( ) ( ) + = x 1 lnx dx e d xlnx x xlnx e C x C xlnx x = + = + 2、习题 4，(11) 解： = dx lnsinxdtanx cos x lnsinx 2 = − dx sinx cosx tanxlnsinx tanx = tanxlnsinx − x + C 3、P109，例 3.5，习题 3，选择题 4、 − − e dx = tanxe dtanx cos x sinx tanx tanx 3 − = − tanx tanxde − − = −tanxe + e dtanx tanx tanx tanxe e C tanx tanx = − − + − − 5、设 xf(x)dx = arcsin x + C ，则 ( ) ( ) = − 1− x + C 3 1 f x dx 3 2
39有理函数积分∫R(xx 真分式→部分分式 部分分式:1 Mx+N Mx+N ax +b(ax+b t px+ t px+ q 其中 X+1 X-12 X+1 x+1 解: x2-x-12(x-4)x+3 4x+3 A(x+3)+B(x-4 (x-4)x+3) A(x+3)+B(x-4)=x+1 令ⅹ=4A 5-7 令 X+1 Idx x2+3x+57 X InIx+3+C
2 3 0 有理函数积分 ( ) R x dx →真分式→部分分式 部分分式： ( ) ( ) n 2 n 2 x px q Mx N , x px q Mx N , ax b 1 , ax b 1 + + + + + + + + 其中： p 4q 0 2 − 5、 − − + dx x x 12 x 1 2 解： (x 4)(x 3) x 1 x x 12 x 1 2 − + + = − − + x 3 B x 4 A + + − = ( ) ( ) (x 4)(x 3) A x 3 B x 4 − + + + − = A(x + 3) + B(x − 4) = x +1 令 , 7 5 x = 4 A = 令 7 2 x = −3 B = ∴ + + − = + + + dx x 3 2 x 4 5 7 1 dx x 3x 5 x 1 2 ln x 3 C 7 2 ln x 4 7 5 = − + + +
6、P112例3.6(4),(5)7P142习题6(3),(4) X+2 arctan c 4x+82 2x+4-2 +4x+82x2+4x+8 +4+8 d(x+2) +4x+8(x+2)+2 X+2 In x+4x+ c 4三角有理式积分R( sinx,cosx知x 2t 令tan= t cOSX= dx=2dt 1+t2 1+t 2+sinx 2+ +t 1+t dt t+ arctan C 2 tan -+1 arctan +C
3 6、P112例 3.6 (4),(5) 7 P142 习题 6 (3),(4) c 2 x 2 arctan 2 1 dx x 4x 8 1 2 + + = + + + + + − = + + x 4x 8 2x 4 2 2 1 dx x 4x 8 1 2 2 ( ) ( ) d(x 2) x 2 2 1 x 4x 8 d x 4 8 2 1 2 2 2 2 + + + − + + + + = c 2 x 2 arctan 2 1 ln x 4x 8 2 1 2 + + = + + − 4 0 三角有理式积分 ( ) R sinx, cosx dx 令 2 2 2 1 t 2t sinx 1 t 1 t t cosx 2 x tan + = + − = = 2 1 t 2dt dx + = 8、 + dx 2 sinx 1 + + + = dt 1 t 2 1 t 2t 2 1 2 2 + + = dt t t 1 1 2 + + + = 2 1 d t 2 3 2 1 t 1 2 2 C 2 3 2 1 t arctan 3 2 + + = C 3 1 2 x 2tan arctan 3 2 + + =
sec x 9 3+cosx J3sec'x+1 d√3tanx Btanx +4 arctan +c 3tanx arctan 6、设f(x)的原函数F(x)恒正,且FO)=1,当x≥0,有 f(x)(x)=si2x,求f(x) 解:F(x)=f(x) F(xF(x)=sin2'x ∫F(x)F(xx=sm2xdx 「F(x知dF(x)=(-cos4x F(x=x--sin4x+C 由FO)=1得C=1 Sin4x +1 sin4x +1
4 9、 + = + dx 3sec x 1 sec x 3 cos x dx 2 2 2 + = d 3tanx 3tan x 4 1 3 1 2 C 2 3tanx arctan 2 1 3 1 = + C 2 3tanx arctan 2 3 1 = + 6 、 设 f(x) 的原函数 F(x) 恒正，且 F(0) =1 ， 当 x 0 ， 有 f(x)F(x) sin 2x 2 = ，求 f(x) 解： F(x)= f(x) F (x)F(x) sin x 2 = ( ) ( ) = F x F x dx sin 2xdx 2 ( ) ( ) ( ) = 1− cos4x dx 2 1 F x dF x ( ) sin4x C 4 1 F x x 2 = − + 由 F(0) =1 得 C=1 ∴ ( ) sin4x 1 4 1 F x = x − + ∴ ( ) sin4x 1 4 1 x sin x f x 2 − + =
定积分的概念 、定义及性质 〈定义>:∫。f(xAx=mn2x,入=max④x} 注意(1)积分区间有限,被积函数有界 (2)与“分法”、“取法”无关 (3)定积分的值与积分变量的选取无关 f(xdx=∫。f(tut (4)f(x)在小]有界是f(x)在[ab]可积的必要条件, f(x)在[ab连续是f(x)在a,b]可积的充分条件。 几何意义>:∫。f(在几何上表示介于y=0,y=f(x), X=a,x=b之间各部分面积的代数和。 补充规定∫。fx=0∫。(x对x=J <性质〉P115,性质(1)-(9) 其中(8)为估计定理:在[a,b],m≤fx)≤M,则 m(b-a)≤∫f( xdsl(b-a) (9)中值定理:如f(x)在连续,3∈[ab],使 dx=f( Xt 例1、利用定积分几何意义,求定积分值 xdx 上式表示介于x=0,x=1,y=0,y=√1-x2之间面积
5 定积分的概念 一、定义及性质 <定义>： ( ) ( ) = → = n i 1 i i x 0 b a f x dx lim f ζ x ， i 1 i n λ = max x 注意(1)积分区间有限，被积函数有界； (2)与“分法”、“取法”无关； (3)定积分的值与积分变量的选取无关 ( ) ( ) = b a b a f x dx f t dt ； (4) f(x) 在 a,b 有界是 f(x) 在 a,b 可积的必要条件， f(x) 在 a,b 连续是 f(x) 在 a,b 可积的充分条件。 <几何意义>： ( ) b a f x dx 在几何上表示介于 y = 0 ， y = f(x) ， x = a ， x = b 之间各部分面积的代数和。 补充规定 f(x)dx 0 a a = ( ) ( ) = − a b b a f x dx f x dx <性质> P115，性质（1）—（9） 其中(8)为估计定理：在 a,b，m f(x) M ，则 m(b a) f(x)dx M(b a) b a − − (9)中值定理：如 f(x) 在 a,b 连续， ζ a,b ，使 f(x)dx f(ζ )(b a) b a = − 例1、 利用定积分几何意义，求定积分值 4 1 x dx 1 0 2 − = 上式表示介于 x = 0, x =1, y = 0, 2 y = 1− x 之间面积