ku k1 k,, k 由2|≠0 knI k k 12 k In kk k 令A kk 由 E2 即E1,62,…,En都能由a1,a2,…,an线性表示,因为任一n维向量能由单 位向量线性表示,故任一n维向量都可以由a1,a2,…,an线性表示 充分性 =已知任一n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示,则单位向量组: 61,E2,…,En可由a1,a2…,an线性表示,由8题知a1,a2,…,an线性无关 10.设向量组A:a1,a2,…,a,的秩为r向量组B:b,b2,…,b,的秩r2 向量组C:a1,a12…,a,b1,b2,…,b的秩r,证明 max{r1,r2}Sr3≤r1+r2 证明设A,B,C的最大线性无关组分别为A,B,C’,含有的向量个数 (秩)分别为r,,z2则ABC分别与A,B,C等价,易知A,B均可由C 线性表示,则秩C)≥秩(A秩(C)≥秩(B),即max{r1,n2}≤r3 设A与B中的向量共同构成向量组D,则A,B均可由D线性表 示, 即C可由D线性表示从而C可由D线性表示,所以秩(C')≥秩(D) D为r+r2阶矩阵,所以秩(D)≤r+n2即r3≤F+n2 11i证明R(4+B)≤R(4)+R(B)
6 T n T T n n nn n n T n T T k k k k k k k k k a a a 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 = 由 0 0 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 n n nn n n T n T T k k k k k k k k k a a a 令 = n n nn n n n n k k k k k k k k k A 1 2 21 22 2 11 12 1 则 由 = = − T n T T T n T T T n T T T n T T a a a A A a a a 2 1 2 1 2 1 1 2 1 即 n , , , 1 2 都能由 a a an , , , 1 2 线性表示，因为任一 n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一 n 维向量都可以由 a a an , , , 1 2 线性表示. 充分性 已知任一 n 维向量都可由 a a an , , , 1 2 线性表示，则单位向量组： n , , , 1 2 可由 a a an , , , 1 2 线性表示，由8题知 a a an , , , 1 2 线性无关. 10．设向量组 A : a a as , , , 1 2 的秩为 1 r ,向量组 B : b b bt , , , 1 2 的秩 2 r 向量组 C : a a as b b br , , , , , , , 1 2 1 2 的秩 3 r ,证明 1 2 3 1 2 max{r ,r } r r + r 证明 设 A,B,C 的最大线性无关组分别为 A ,B ,C ,含有的向量个数 (秩)分别为 1 2 2 r ,r ,r ,则 A,B,C 分别与 A ,B ,C 等价,易知 A,B 均可由 C 线性表示,则秩( C ) 秩( A ),秩( C ) 秩( B )，即 1 2 3 max{r ,r } r 设 A 与 B 中的向量共同构成向量组 D ,则 A,B 均可由 D 线性表 示, 即 C 可由 D 线性表示,从而 C 可由 D 线性表示，所以秩( C ) 秩( D ), D 为 1 2 r + r 阶矩阵，所以秩( D ) 1 2 r + r 即 3 1 2 r r + r . 11.证明 R(A + B) R(A) + R(B)
证明;设A=(a1,m2,…,an)B=(b1,b2,…,bn) 且A,B行向量组的最大无关组分别为ar1,a2,…,aB,B1,…,B 显然存在矩阵A,B',使得 B B B2 bn +b1 A+B=+"=团?+1B a+b B 因此R(4+B)≤R(4)+R(B) 12.设向量组B:b,…,b能由向量组A:a1,…a,线性表示为 (b1,…,b)=(an1;…,a,)k, 其中K为s×r矩阵,且A组线性无关。证明B组线性无关的充分必要 条 件是矩阵K的秩R(K)= 证明→若B组线性无关 令B=(b1,…,b)A=(a1…,a,)则有B=AK 由定理知R(B)=R(AK)≤min{R(A),R(K}≤R(K) 由B组:b,b2,…b线性无关知R(B)=r,故R(K)≥r 又知K为rxs阶矩阵则R(K)smin{r,s 由于向量组B:b1,b2,,b能由向量组A:a1,a2,…,a,线性表示,则 r≤S min(r, s) 综上所述知r≤R(K)≤r即R(K)=r ∈若R(k)=r 令x1b1十x2b2+…+xb=0,其中x1为实数i=1,2,…,r 则有(b1,b2,…,b
7 证明:设 T A a a an ( , , , ) = 1 2 T B b b bn ( , , , ) = 1 2 且 A,B 行向量组的最大无关组分别为 T r T T 1 , 2 , , T s T T 1 , 2 , , 显然,存在矩阵 A , B ,使得 = T s T T T n T T A a a a 2 1 2 1 , = T s T T T n T T B b b b 2 1 2 1 + + + + = T n T n T T T T a b a b a b A B 2 2 1 1 + = T s T T T s T T A B 2 1 2 1 因此 R(A + B) R(A) + R(B) 12．设向量组 B : b br , , 1 能由向量组 A: a as , , 1 线性表示为 (b1 , ,br ) = (a1 , ,as )K ， 其中 K 为 s r 矩阵，且 A 组线性无关。证明 B 组线性无关的充分必要 条 件是矩阵 K 的秩 R(K) = r. 证明 若 B 组线性无关 令 ( , , ) ( , , ) B = b1 br A = a1 as 则有 B = AK 由定理知 R(B) = R(AK) min{ R(A), R(K)} R(K) 由 B 组: b b br , , , 1 2 线性无关知 R(B) = r ，故 R(K) r . 又知 K 为 r s 阶矩阵则 R(K) min{r,s} 由于向量组 B : b b br , , , 1 2 能由向量组 A : a a as , , , 1 2 线性表示,则 r s min{r,s} = r 综上所述知 r R(K) r 即 R(K) = r ． 若 R(k) = r 令 x1b1 + x2b2 ++ xrbr = 0 ,其中 i x 为实数 i = 1,2, ,r 则有 ( , , , ) 0 1 1 2 = r r x x b b b