KPm(x)（5）当n>m+1且x充分大时，可知当n>m+1时有sinxqn(x)积分[P(sinxdt绝对收敛。q,(x)当n=m+1时，因为F(A)=J"sinxd有界，且当x充分大时，Pm()qn(x)单调且 lim Pa(=0，由Dirichlet 判别法可知"Pa(sin xd收敛；但+0 qn(x)q,(x)由于当x→+o时，(～，易知0Pm(x)sinxdx发散，所以当qn(x)xqn(x)n=m+1时，积分["Pa(sinxd条件收敛。q,(x)当n<m+1时，由limPm()=A，A为非零常数、+8或-00，易知+o qn(α)积分a(sinxdx发散。q,(x)6.设f(x)在[a,b]只有一个奇点x=b，证明定理8.2.3'和定理8.2.5'。定理8.2.3（Cauchy判别法）设在[a,b)上恒有f(x)≥0，若当x属于b的某个左邻域[b-no,b)时，存在正常数K，使得K(1) (x)≤(-x)，且p<1，则(x)收敛;K(2) f(x)≥7(b-x)，且p≥1，则'()d发散。证（1）当p<1时，积分°，α收敛，由反常积分的Cauchy收(b-x)P敛原理，283
（5）当n > m +1且 x充分大时，有 x q x p x n m sin ( ) ( ) 2 x K ≤ ，可知当 时 积分 n > m +1 ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 绝对收敛。 当n = m +1时，因为 = ∫ 有界，且当 充分大时， A F A xdx 1 ( ) sin x ( ) ( ) q x p x n m 单调且 0 ( ) ( ) lim = →+∞ q x p x n m x ，由 Dirichlet 判别法可知∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 收敛；但 由于当 x → +∞ 时， ( ) ( ) q x p x n m ～ x a ，易知 ∫ +∞ 1 sin ( ) ( ) x dx q x p x n m 发散，所以当 n = m +1时，积分∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 条件收敛。 当n < m +1时，由 A q x p x n m x = →+∞ ( ) ( ) lim ，A为非零常数、+ ∞ 或 ，易知 积分 − ∞ ∫ +∞ a n m xdx q x p x sin ( ) ( ) 发散。 ⒍ 设 f x( ) 在 [ , a b]只有一个奇点 x = b ，证明定理 8.2. 和定理 8.2. 。 3' 5′ 定理 8.2.3′（Cauchy 判别法） 设在[ , a b)上恒有 f x( ) ≥ 0，若当 x属 于b的某个左邻域[b − η0 , b)时，存在正常数 K ，使得 ⑴ f x K b x p ( ) ( ) ≤ − ，且 p < 1，则 a f x dx 收敛； b ( ) ∫ ⑵ f x K b x p ( ) ( ) ≥ − ，且 p ≥ 1，则 a f x dx 发散。 b ( ) ∫ 证 （1）当 p < 1时，积分∫ − b a p dx (b x) 1 收敛，由反常积分的 Cauchy 收 敛原理， 283
V6>0, 38>0,Vn,ne(0,8):A(h-x)rb-n(-)<6，所以"r()a收敛。由于-n (x)dx|≤（2）当p≥1时，积分dx发散，由反常积分的Cauchy收敛原(h-x)理,0380 >0, V8>0, 3n,n'e(0,8):K(b-x)prb-nKdx≥60，所以[,f(x)dx发散。由于门-n f(x)dx≥-n (b-x)p推论（Cauchy判别法的极限形式）设在[a,b)上恒有f(x)≥0，且lim(b-x)P f(x)= l ,则(1)若0<l<+o0，且p<1，则[°f(x)dx收敛(2）若0<1≤+o0，且p≥1，则ff(x)dx发散。证（1)由lim(b-x)"f(x)=l （p<1,0≤1<+oo),可知38>0, Vxe(b-8,b): ()<+)(b-x)p再应用定理8.2.3'的（1）。(2）由 lim(b-x)Pf(x)=1（p≥1,0<1≤+),可知138>0,Vxe(b-8,b): f(x)>2(b -x)p再应用定理8.2.3°的（2）。定理8.2.5若下列两个条件之一满足，则f(x）g(x)dx收敛284
∀ε > 0，∃δ > 0，∀η,η'∈ (0,δ )： K dx b x b b p η ε η < − ∫ − − ' ( ) 1 。 由于 ∫ ≤ − − ' ( ) η η b b f x dx ε η η < − ∫ − − ' ( ) b b p dx b x K ，所以 a f x dx收敛。 b ( ) ∫ （2）当 p ≥ 1时，积分∫ − b a p dx (b x) 1 发散，由反常积分的 Cauchy 收敛原 理， ∃ε 0 > 0，∀δ > 0，∃η,η'∈ (0,δ )： K dx b x b b p 0 ' ( ) η 1 ε η ≥ − ∫ − − 。 由于 ∫ ≥ − − ' ( ) η η b b f x dx 0 ' ( ) ε η η ≥ − ∫ − − b b p dx b x K ，所以 a f x dx 发散。 b ( ) ∫ 推论（Cauchy 判别法的极限形式）设在[ , a b)上恒有 f x( ) ≥ 0，且 lim( ) ( ) x b p b x f x l → − − = ， 则 ⑴ 若0 ≤ l < +∞ ，且 p < 1，则 a f x dx 收敛； b ( ) ∫ ⑵ 若0 < l ≤ +∞ ，且 p ≥ 1，则 a f x dx 发散。 b ( ) ∫ 证 （1）由 x b lim → −(b x − = ) p f (x) l （ p < 1, 0 ≤ l < +∞ ），可知 ∃δ > 0，∀x ∈ (b − δ ,b)： p b x l f x ( ) 1 ( ) − + < ， 再应用定理 8.2.3′的（1）。 （2）由 x b lim → −(b x − = ) p f (x) l （ p ≥ 1, 0 < l ≤ +∞ ），可知 ∃δ > 0，∀x ∈ (b − δ ,b)： p b x l f x 2( ) ( ) − > ， 再应用定理 8.2.3′的（2）。 定理 8.2.5′ 若下列两个条件之一满足，则 a f x g x dx 收敛： b ( ) ( ) ∫ 284