2)若p>1,因为当n-1≤x≤n时， tD, 故 e,] a小a n→o0 故强级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
p 1, 因为当 , 1 1 p p n x 故 − = n p n p x n n 1 d 1 1 − n n p x x 1 d 1 − − − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数 − − − − = 1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和 n + − = − − = 1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n → 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n + + + − + − − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n 1 2) 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束
调和级数与p级数是两个常用的比较级数 若存在NeZ,对-切n≥N, (①n≥1则∑n发散 00 n=1 ②>则2散 n=1 HIGH EDUCATION PRESS DeOC①8 机动目录上页下页返回结束
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 , + N Z 对一切 n N , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.证明级数 √na+ 发散 证：因为 n+1 (n=1,2,.） 而级数 根据比较审敛法可知，所给级数发散 HIGH EDUCATION PRESS 十 机动目录上页下页返回结束
证明级数 发散 . 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 + n n + n 而级数 = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理3.（比较审敛法的极限形式） 设两正项级数 00 00 ∑4，∑yn满足1im4n=Z,则有 n=l n=l n->oo Vn (1)当0≤1<0∞时，两个级数同时收敛或发散； (2)当1=0且∑yn收敛时，∑4n也收敛 n=1 n=1 00 (3)当1=∞且 ∑yn发散时，∑4n也发散 n=1 n=1 证：据极限定义，对e>0,存在N∈Z+,当n>N时， (1≠0） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理3. (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
(l-E)Yn≤n≤(l+e)vm (n>N) (1)当0<1<o时，取8<1，由定理2可知 ∑4n与∑n n= n=1 同时收敛或同时发散； (2)当1=0时，利用4n<(1+)yn(n>N),由定理2知 若∑vn收敛，则∑un也收敛： n=l n=] 3)当1=时，存在NeZ+,当n>N时，n>1,即 Vn un >Vn 00 由定理2可知，若∑Vm发散，则∑n也发散. n=] n=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束
n n n (l − )v u (l + )v 由定理 2 可知 n=1 n v 同时收敛或同时发散 ; (n N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u v 由定理2可知, 若 n=1 n v 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知 n=1 n 若 v 收敛 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束