《概率论与数理统计》 学习指导 疑难分析 例题解析 李永明 2006年3月20日
《概率论与数理统计》 学习指导 ·疑难分析 ·例题解析 李永明 2006 年 3 月 20 日
目录 第一章事件与概率 第二章离散型随机变量…1山 第三章连续型随机变量.…200 第四章大数定律与中心极限定理…2 第五章数理统计的基本概念.…5 第六章点估计. 0……38 第七章假设检验…42 第八章方差分析和回归分析…45
1 目 录 第一章 事件与概率 ...................................... 2 第二章 离散型随机变量 .............................. 111 第三章 连续型随机变量 .............................. 200 第四章 大数定律与中心极限定理 ..................... 32 第五章 数理统计的基本概念 .......................... 35 第六章 点估计 ......................................... 38 第七章 假设检验....................................... 42 第八章 方差分析和回归分析 .......................... 45
第一章事件与概率 疑难分析 1、必然事件与不可能事件 必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下 必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把 它们看作特殊的随机事件. 2、互逆事件与互斥事件 如果两个事件A与B必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则A、B 为互逆事件：如果两个事件A与B不能同时发生，则A、B为互斥事件.因而， 互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时， 两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两 者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个 3、两事件独立与两事件互斥 两事件A、B独立，则A与B中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关， 这时P(AB)=P(A)P(B):而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另 一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的， B 这时AB=中，P(AB)=0.可以用图形作一直观 A 解释.在图1.1左边的正方形中， 图1.1 P(4B)=P4)=2=P(B),表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的 正方形中，P(AB)=0,表示样本空间中两事件的互斥关系
2 第一章 事件与概率 疑 难 分 析 1、必然事件与不可能事件 必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下 必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把 它们看作特殊的随机事件. 2、互逆事件与互斥事件 如果两个事件 A 与 B 必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则 A 、B 为互逆事件；如果两个事件 A 与 B 不能同时发生，则 A 、 B 为互斥事件.因而， 互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时， 两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两 者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个. 3、两事件独立与两事件互斥 两事件 A 、B 独立，则 A 与 B 中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关， 这时 P(AB) = P(A)P(B) ；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另 一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的， 这时 AB = ,P(AB) = 0 .可以用图形作一直观 解释.在图 1.1 左边的正方形中， 图 1.1 ( ) 2 1 , ( ) 4 1 P(AB) = P A = = P B ，表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的 正方形中， P(AB) = 0 ，表示样本空间中两事件的互斥关系. A B AB A B
4、条件概率P(AB)与积事件概率P(AB) P(AB)是在样本空间Ω内，事件AB的概率，而P(AB)是在试验E增加 了新条件B发生后的缩减的样本空间2。中计算事件A的概率，虽然A、B都发 生，但两者是不同的，一般说来，当A、B同时发生时，常用P(AB),而在有 包含关系或明确的主从关系时，用P(A|B).如袋中有9个白球1个红球，作不放 回抽样，每次任取一球，取2次，求：(1)第二次才取到白球的概率：(2)第一 次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题(1)求的就是一个积事 件概奉的问题，而问题(2)求的就是一个条件概率的问题。 5、全概率公式与贝叶斯Bayes)公式 当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作 这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注 意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、 条件)下引发的概率。 例题解析 【例1】写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点： (1)掷一棵骰子，出现奇数点. (2)投掷一枚均匀硬币两次： 1)第一次出现正面：2)两次出现同一面：3)至少有一次出现正面 (3)在1,2,3,4四个数中可重复地抽取两个数，其中一个数是另一个数 的两倍。 (4)将a,b两只球随机地放到3个盒子中去，第一个盒子中至少有一个球
3 4、条件概率 P(A| B) 与积事件概率 P(AB) P(AB) 是在样本空间 内，事件 AB 的概率，而 P(A| B) 是在试验 E 增加 了新条件 B 发生后的缩减的样本空间 B 中计算事件 A 的概率.虽然 A 、 B 都发 生，但两者是不同的，一般说来，当 A 、 B 同时发生时，常用 P(AB) ，而在有 包含关系或明确的主从关系时，用 P(A| B) .如袋中有 9 个白球 1 个红球，作不放 回抽样，每次任取一球，取 2 次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一 次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个积事 件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题. 5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式 当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作 这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注 意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、 条件）下引发的概率. 例 题 解 析 【例 1】写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点： （1）掷一棵骰子，出现奇数点. （2）投掷一枚均匀硬币两次： 1）第一次出现正面；2）两次出现同一面；3）至少有一次出现正面. （3）在 1，2，3，4 四个数中可重复地抽取两个数，其中一个数是另一个数 的两倍. （4）将 a,b 两只球随机地放到 3 个盒子中去，第一个盒子中至少有一个球
分析：可对照集合的概念来理解样本空间和样本点：样本空间可指全集，样 本点是元素，事件则是包含在全集中的子集， 解：()掷一棵骰子，有六种可能结果，如果用“1”表示“出现1点”这个 样本点，其余类似.则样本空间为：2=1,2,3,4,5,6卧，出现奇数点的事件 为：{1,3,5. (2)投掷一枚均匀硬币两次，其结果有四种可能，若用（正，反）表示“第 一次出现正面，第二次出现反面”这一样本点，其余类似.则样本空间为：2={（正， 正)，（正，反），（反，正），（反，反）}，用A、B、C分别表示上述事件1)、2)、 3),则事件A={(正，正)，（正，反）：事件B={(正，正)，（反，反）：事 件C={(正，正)，（正，反），（反，正）} (3)在1,2,3,4四个数中可重复地抽取两个数，共有42=16种可 能，若用（位，）表示“第一次取数1，第二次取数j”这一样本点，则样本空间为： 2={(亿，)}（亿，j=1,2,3,4):其中一个数是另一个数的两倍的事件为：{(1,2）， (2,1),(2,4),(4,2). (4)三个盒子分别记为甲、乙、丙，将品，b两只球随机地放到3个盒子中去共 有九种结果.若用（甲、乙）表示“a球放入甲盒，b球放入乙盒”这一样本点， 其余类似.则样本空间为：={（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙， 乙)，（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙）：第 个盒子中至少有一个球的事件为：{（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙， 甲)，（丙，甲）}. 【例2】设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件 (1)仅A发生： (2)A与C都发生，而B不发生： (3)所有三个事件都不发生：(4)至少有一个事件发生：
4 分析：可对照集合的概念来理解样本空间和样本点：样本空间可指全集，样 本点是元素，事件则是包含在全集中的子集. 解:(1) 掷一棵骰子，有六种可能结果，如果用“1”表示“出现 1 点”这个 样本点，其余类似.则样本空间为： ={1，2，3，4，5，6}，出现奇数点的事件 为：{1，3，5}. （2）投掷一枚均匀硬币两次，其结果有四种可能，若用（正，反）表示“第 一次出现正面，第二次出现反面”这一样本点，其余类似.则样本空间为： ={（正, 正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）}，用 A、B、C 分别表示上述事件 1）、2）、 3），则事件 A ={（正,正）,（正,反）}；事件 B ={（正,正），（反,反）}；事 件 C ={（正,正）,（正,反）,（反,正）}. （3）在 1，2，3，4 四个数中可重复地抽取两个数，共有 4 16 2 = 种可 能，若用 (i, j) 表示“第一次取数 i ，第二次取数 j ”这一样本点，则样本空间为： ={ (i, j) } (i, j =1,2,3,4) ；其中一个数是另一个数的两倍的事件为：{（1,2）, （2,1）,（2,4）,（4,2）}. (4)三个盒子分别记为甲、乙、丙，将 a,b 两只球随机地放到 3 个盒子中去共 有九种结果.若用（甲、乙）表示“a 球放入甲盒，b 球放入乙盒”这一样本点， 其余类似.则样本空间为： ={（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙， 乙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丙）}；第一 个盒子中至少有一个球的事件为：{（甲，甲），（甲，乙），（甲，丙），（乙， 甲），（丙，甲）}. 【例 2】设 A、B、C 为三个事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： （1）仅 A 发生； （2） A 与 C 都发生，而 B 不发生； （3）所有三个事件都不发生；（4）至少有一个事件发生；