、反函数的导数 定理如果函数x=p(y)在某区间I内单调、可导 且q(y)≠0,那末它的反函数y=f(x)在对应区间 内也可导,且有 f(r) p() 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数 Economic-mathematics 31-6 Wednesday, February 24 2021
Economic-mathematics 31 - 6 Wednesday, February 24, 2021 二、反函数的导数 定理 . ( ) 1 ( ) , ( ) 0 , ( ) ( ) y f x I y y f x x y I x y = = = 内也可导 且 有 且 那末它的反函数 在对应区间 如果函数 在某区间 内单调、可导 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
例4求函数y= loga x的导数 解∵x=a"在I,∈(-∞,+∞内单调、可导, 且(a3)=a"na≠0,∴在Ix∈(0,+∞)内有, (oga x) (a) a Ina xIna 特别地(nx)= Economic-mathematics 31-7 Wednesday, February 24 2021
Economic-mathematics 31 - 7 Wednesday, February 24, 2021 例4 求函数 y log x的导数. = a (a ) = a lna 0, 且 y y 在 (0,+)内有, x I ( ) 1 (log ) = a y a x a a y ln 1 = . ln 1 x a = 解 = 在 (− ,+ )内单调、可导, y y x a I 特别地 . 1 (ln ) x x =
例5求函数y= arcsinx的导数 解∵x=sim在l∈( T兀 内单调、可导 22 且 (sin y)=c0sy>0,∴在2∈(-1,1内有 (arcsin x) (siny)cosy√l-sin 同理可得 arccos) 2 arctan)=I 1+x (arccot x) 1+x Economic-mathematics 31-8 Wednesday, February 24 2021
Economic-mathematics 31 - 8 Wednesday, February 24, 2021 例5 求函数 y = arcsinx的导数. 解 ) , 2 , 2 sin 在 ( 内单调、可导 x = y I y − 且 (sin y) = cos y 0, 在I x (−1,1)内有 (sin ) 1 (arcsin ) = y x cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = . 1 1 2 − x = . 1 1 (arccos ) 2 x x − 同理可得 = − ; 1 1 (arctan ) 2 x x + = . 1 1 ( cot ) 2 x x + arc = −
、函数的和差积商的求导法则 定理如果函数u(x),v(x)在点x处可导,则它 们的和、差、积、商分母不为零在点x处 也可导,并且 (1)[u(x)±v(x)=u(x)±v(x); (2)[u(x)·v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x); (x)_u(x)v(x)-u(x)(x) (3)[ (v(x)≠0) v(x) v x Economic-mathematics 31-9 Wednesday, February 24 2021
Economic-mathematics 31 - 9 Wednesday, February 24, 2021 定理 也可导 并 且 们的和、差、积、商 分母不为零 在 点 处 如果函数 在 点 处可导 则 它 , ( ) ( ), ( ) , x u x v x x ( ( ) 0). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) (3)[ (2)[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ); (1)[ ( ) ( )] ( ) ( ); 2 − = = + = v x v x u x v x u x v x v x u x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x 三、函数的和差积商的求导法则
推论 u1(x)±u2(x)土…±un(x) l(x)±u2(x)±…±un(x) 2.[1(x)l2(x)…un(x) ∑(x)a2(x)“(x)…un(x) 3.[C(x)=Cu(x); vX v(x v X Economic-mathematics 31-10 Wednesday, February 24 2021
Economic-mathematics 31 - 10 Wednesday, February 24, 2021 推论 . ( ) ( ) ] ( ) 1 4. [ 2 v x v x v x = − 3. [Cu(x)] = Cu(x); ( ) ( ) ( ) 1. [ ( ) ( ) ( )] 1 2 1 2 u x u x u x u x u x u x n n = = = n i i n n u x u x u x u x u x u x u x 1 1 2 1 2 [ ( ) ( ) ( ) ( )] 2. [ ( ) ( ) ( )]