特别,向量空间V在σ之下的象是W的一个 子空间,叫做o的象,记为m() 即lm(a)=a() 另外,W的零子空间{0}在0之下的原象是 v的一个子空间,叫做σ的核, 记为Ker(a), 即Ker(a)={∈|o()=0} 首页 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 特别，向量空间V 在σ之下的象是W 的一个 子空间，叫做σ的象, 记为 即 另外，W 的零子空间 { 0 } 在σ之下的原象是 V 的一个子空间，叫做σ的核， 记为 即 Im( ), Im() =(V). Ker( ), Ker() ={ V |() = 0}
定理612设V和W是数域F向量空间,而是一个线 性映射,那么σ:→ ()o是满射台lm(o)=W (i)o是单射Ker(σ)={0} 证明论断(是显然的我们只证论断(i) 如果σ是单射那么ker()只能是含有唯一的零向量 反过来设ker()={0} 如果,n∈而(5)=0(m) 那么G(5-n)=a()-a(n)=0, 从而5-n∈ker(a)={0} 所以5=n,即是单射 首页【上页【返回【下页【结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 定理6.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线 性映射，那么 (i) σ是满射 (ii) σ是单射 证明 论断(i)是显然的,我们只证论断(ii) 如果σ是单射,那么ker(σ)只能是含有唯一的零向量. 反过来设ker(σ) = {0}. 如果 那么 从而 所以 即σ是单射. :V →W Im() = W Ker() = {0} , V而() = (). ( −) = () −() = 0, − ker() = {0}. =
如果线性映射σ:→W有逆映射σ-1,那么是W 到V的一个线性映射 建议同学给出证明 首页 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果线性映射 有逆映射 ，那么是W 到V 的一个线性映射. 建议同学给出证明. :V →W −1
6.2线性变换的运算 内容分布 621加法和数乘 622线性变换的积 6.2.3线性变换的多项式 教学目的 掌握线性映射的加法、数乘和积定义,会做运算 掌握线性变换的多项式,能够求出给定线性变换的 多项式 重点难点 会做运算 首页 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 6.2 线性变换的运算 一、内容分布 6.2.1 加法和数乘 6.2.2线性变换的积 6.2. 3线性变换的多项式 二、 教学目的: 掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算. 掌握线性变换的多项式, 能够求出给定线性变换的 多项式. 三、 重点难点: 会做运算
6.2.1加法和数乘 令V是数域F上一个向量空间,V到自身的一个 线性映射叫做V的一个线性变换 我们用L(v表示向量空间和一切线性变换所成 的集合,设o,r∈L()k∈F 定义 加法:σ+τ:2σ(2)+τ(2) 数乘:ko:2→ko(2),那么是V的一个线性变换 可以证明:σ+τ和ko都是v的一个线性变换 证明 令卯=σ+7,那么对于任意a,b∈F和任意,n∈V, 首页【上页【返回【下页【结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 6.2.1 加法和数乘 令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个 线性映射叫做V 的一个线性变换. 我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成 的集合，设 定义: 加法: 数乘: , 那么是V的一个线性变换. 可以证明: 和 都是V 的一个线性变换. , L(v), k F, + : () + () k : k() + k 令 = + ，那么对于任意 a,b F 和任意 , V, 证明