例3令A是数域F上一个m×n矩阵,对于m元列空 间的F每一向量 规定:o()=A5 o()是一个m×1矩阵即是空间F的一个向量 o是到F的尸价个线性映射 首页 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例3 令A是数域F上一个m × n矩阵，对于n元列空 间的 F m 每一向量 = n x x x 2 1 规定： ( ) = 是一个m×1矩阵，即是空间 的一个向量， σ是 到 的一个线性映射. ( ) m F m F n F
例4令v和W是数域F上向量空间对于V的每一向 量ξ令W的零向量0与它对应,容易看出这是v到 W的一个线性映射,叫做零映射. 例5令V是数域F上一个向量空间,取定F的一个数 k,对于任意∈V,定义o()=k 容易验证,o是V到自身的一个线性映射,这样 个线性映射叫做v的一个位似 特别,取k=1,那么对于每一∈V,都有o()=5 这时σ就是V到V的恒等映射,或者叫做V的单位映 射,如果取k=0,那么o就是V到v的零映射 首页【上页【返回【下页【结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 令V 和W是数域F 上向量空间.对于V 的每一向 量ξ令W 的零向量0与它对应，容易看出这是V 到 W的一个线性映射，叫做零映射. 例5 令V是数域F上一个向量空间，取定F的一个数 k，对于任意 定义 容易验证，σ是V 到自身的一个线性映射，这样一 个线性映射叫做V 的一个位似. 特别，取k = 1，那么对于每一 都有 这时σ就是V到V的恒等映射，或者叫做V的单位映 射，如果取k = 0，那么σ就是V 到V的零映射. V, ( ) = k V, ( ) =
例6取定F的一个n元数列(a1a2…,an)对于Fn 的每一向量5=(x1x2….xn)规定 o()=a1x1+a2x2+…+anxn∈F 容易验证,σ是F到F的一个线性映射,这个线性 映射也叫做F上一个n元线性函数或一个线性 型 例7对于F×的每一多项式f(x),令它的导数 f(x)与它对应,根据导数的基本性质,这样定义 的映射是Fx]到自身的一个线性映射 首页 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例6 取定F的一个n元数列 对于 的每一向量 规定 容易验证，σ是 到F的一个线性映射，这个线性 映射也叫做F上一个n元线性函数或 上一个线性 型. ( ). 1 2 n a a a n F ( ). 1 2 n = x x x ( ) = a1 x1 + a2 x2 ++ an xn F n F n F 例7 对于F[x] 的每一多项式 f（x），令它的导数 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义 的映射是F[x]到自身的一个线性映射. f (x)
例8令C[a,的是定义在[a,的上一切连续实函数所 成的R上向量空间,对于每一f(x)∈Cab规定 o((x))=f(dt o((x)仍是[a,6上一个连续实函数,根据积分的 基本性质,σ是Ca,6到自身的一个线性映射 首页 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例8 令C[a, b]是定义在[a, b]上一切连续实函数所 成的R上向量空间，对于每一 规定 仍是[a, b]上一个连续实函数，根据积分的 基本性质，σ是C[a, b]到自身的一个线性映射. f (x)Ca,b, (f (x)) f (t)dt x a = (f (x))
6.1.2线性变换的象与核 定义2设是向量空间V到W的一个线性映射, (1)如果gV,那么a(")={G()|∈Ⅳ}叫做 在σ之下的象 2)设WcW,那么{∈V|()∈W}叫做W在σ 之下的原象 定理611设v和W是数域F上向量空间,而 σ:→W是一个线性映射,那么V的任意子空间 在σ之下的象是W的一个子空间,而W的任意子空 间在σ之下的原象是v的一个子空间 首页【上页【返回【下页【结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 6.1.2 线性变换的象与核 定义2 设σ是向量空间V到W的一个线性映射, (1) 如果 那么 叫做 在σ之下的象. (2) 设 那么 叫做 在σ 之下的原象. V V, (V) = {() | V} V W W, { V |()W} W 定理6.1.1 设V 和W 是数域F 上向量空间，而 是一个线性映射，那么V 的任意子空间 在σ之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空 间在σ之下的原象是V 的一个子空间. :V →W