《高等代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 矩阵

5.1.4方阵的多项式单位矩阵：主对角线上全是1其余元素全是0的方阵称为单位矩阵，记为或11n0nxnE,或E单位矩阵也可以记为它有如下性质InAnxm=AnxmInxmnxm方阵A的方幂规定： A°= IA. A....A = Ak那么，设多项式f(x)=a,x"+an-xn-Y..+ax+aof(A)=anA" +an-An-I +..+aA+ao在多项式的等式中，用A代可以作出形式相同的矩阵等式

单位矩阵 :主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为单位矩 阵, 记为 n I 或 I 1 1 0 0 n  n        单位矩阵也可以记为 En或E.它有如下性质: m, nAn m An I    AnmIm  Anm 方阵A的方幂: k A A. A  A 规定: A  I 0 设多项式 1 0 1 1 f (x) a x a x . a x a n n n  n       那么, f A a A a A a A a I n n n n 1 0 1 1 ( )   .    在多项式的等式中, 用A代x可以作出形式相同的矩阵等式

5. 1.5矩阵的转置aila12aina21anna22设A=amlam2amm把矩阵A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵A的转置矩阵记为A!或AT转置有下面的性质：(9)(A)'= A(10)(A+B)'=A+B(11)(AB)= B' A

设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a              把矩阵 A 的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵, 记为 A ' 或 . T A 转置有下面的性质: (9) (A')'  A (AB)'  A'B' (10) AB'  B' A' (11)

5.2可逆矩阵方阵乘积的行列式一、内容分布5. 2.1可逆矩阵的定义可逆矩阵的性质5. 2. 25.2. 3初等矩阵的定义、性质5.2.4矩阵可逆的判别5.2.5逆矩阵的求法5.2.6方阵乘积的行列式和矩阵乘积的秩二、教学目的掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别2掌握求逆矩阵的方法，尤其是能熟练利用矩阵的行初等变换求逆矩阵。3了解初等矩阵与初等变换的关系三、重点、难点逆矩阵的求法矩阵可逆的判别

一、内容分布 5．2．1 可逆矩阵的定义 5．2．2 可逆矩阵的性质 5．2．3 初等矩阵的定义、性质 5．2．4 矩阵可逆的判别 5．2．5 逆矩阵的求法 5．2．6 方阵乘积的行列式和矩阵乘积的秩 二、教学目的 1 掌握逆矩阵的概念及矩阵可逆的判别 2 掌握求逆矩阵的方法,尤其是能熟练利用矩阵的行初等变 换求逆矩阵。 3 了解初等矩阵与初等变换的关系 三、重点、难点 逆矩阵的求法 矩阵可逆的判别

5. 2. 1可逆矩阵的定义使定义1A为F上n阶方阵，若存在n阶方阵B（非奇异矩AB=BA=I.称A为可逆矩阵阵），B称为A的逆矩阵例：23(1 -)6)-?BAA与B互为逆矩阵。注1有零行或零列的矩阵不可逆

定义1 A 为F 上n 阶方阵，若存在n 阶方阵B，使 AB = BA = I， 称A 为可逆矩阵（非奇异矩 阵），B 称为A 的逆矩阵。 例： A B                                     0 1 1 0 1 3 2 5 1 2 3 5 1 2 3 5 1 3 2 5 A 与B 互为逆矩阵。 注1 有零行或零列的矩阵不可逆

5. 2. 2可逆矩阵的性质①A可逆，则A的逆矩阵唯一证设B,C均为A的逆矩阵，则AB=BA=I. AC=CA=IB=BI =B(AC)= (BA) C=IC=C② A 可逆，则A-1 可逆，且(A-)- = A证注意到 A(A-")= A-"A=I即得A，B 可逆，则AB 也可逆，且（AB)-I =B-'A-1证注意到 AB(B-"A-")=(B-"A-")AB=I即得④A可逆，则 A'可逆且(A)-I =(A-")证由日 AA-=A-A=I有(A-")A' = A(A-")'= I

① A 可逆，则A 的逆矩阵唯一。 证 设B,C均为A 的逆矩阵 ，则 AB = BA =I, AC = CA =I B = BI = B(AC) =（BA）C = IC = C 证 注意到 A A  A A  I即得. 1 1 ( ) 证 注意到 A B B A  B A A B  I 即得.     ( ) ( ) 1 1 1 1 ④ A可逆，则 , ( ) ( ) 1 1       A 可逆 且 A A ② A 可逆，则 A  1 可逆，且 A  A 1 1 ( ) 由 有 . AA  A A  I 1 1 A A  A A   I   ( ) ( ) 1 1 证 ③ A，B 可逆，则AB 也可逆，且 . 1 1 1 ( )    AB  B A