《高等代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 矩阵

A和B的和定义为:ai+bi+ba2 +b2CinIn+ban+b2a2i +b1a22OnnA+B=+b1+b+baaamlm2m2mlmnmm3（矩阵的乘法）给定m×n矩阵和一个n×l定义3一个矩阵Dbbala12aIn60Cnm2dnnB三6bbaaan2mlm2nlnlmn

A和B的和定义 为: 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b                        定义3（矩阵的乘法）给定 一个 mn 矩阵和一个 n  l 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a              11 12 1 21 22 2 1 2 l l n n nl b b b b b b B b b b             

A和B的乘积定义为nbbbaaaii2117D6baaa.221i221iAB=交bbbaCilil12mimimii=1i=li=l注意：相加的两个矩阵必须同型，结果也同型：相乘的两个矩阵须满足：前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数，试问：结果的形状？

A和B的乘积定义为                          n i mi il n i mi i n i mi i n i i il n i i i n i i i n i i il n i i i n i i i a b a b a b a b a b a b a b a b a b AB 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1       注意: 相加的两个矩阵必须同型, 结果也同型; 相 乘的两个矩阵须满足:前一个矩阵的列数等于后 一个矩阵的行数, 试问: 结果的形状?

5.1.3 矩阵的运算性质（其中A，矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律B，C均为F上的矩阵，k，1为数域F中的数房注意：矩阵的乘法不满足交换律消去律：A±0.AB=AC=B=C也不满足满足：AB=BA的两个矩阵称为可交换的k(IA)= (kl)A(5)数乘结合律(6)数乘分配律k(A+ B)= kA+kBk+I)A= kA+IA乘法结合律(AB)C= A(BC)(7)k(AB)=(kA)B=A(kB)A(B+C)=AB+AC乘法对加法(8)分配律B+C)A=BA+CA

矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A， B，C 均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数） (1) 加法交换律 A B  B  A (2) 加法结合律 (AB)CA(BC) (3) 零矩阵 A0  A (4) 负矩阵 A(A) 0 (5) 数乘结合律 k(lA)  (kl)A (6) 数乘分配律 k(AB)  kAkB (k  l)A  kA lA (7) 乘法结合律 (AB)C  A(BC) k(AB)  (kA)B  A(kB) (8) 乘法对加法 分配律 A(BC)  AB AC (BC)A BACA 注意: 矩阵的乘法不满足交换律, 消去律: A  0, AB  AC  B  C 也不满足. 满足: AB  BA 的两个矩阵称为可交换的

-12 3132例1已知A=B=03-215-30 1|, 求3A-2B403例2 已知 A=B=8且A+2X=B,求X3例3 若A= 1 -21, B=求AB

例1 已知                    1 2 5 0 5 3 0 1 4 3 2 1 , 4 0 3 2 0 3 2 1 1 2 3 1 A B , 求3A2B. 例2 已知 , 3 2 1 6 5 1 9 7 7 5 2 4 , 2 4 6 8 1 5 7 9 3 1 2 0                 A  B 且 A 2X  B, 求X . 例3 若 , 2 1 0 1 2 3 , 3 1 1 2 2 3                 A  B 求AB

00010例5求与矩阵A=可交换的一切矩阵00例6证明：如果CA=AC,CB=BC,则有(A+B)C=C(A+B)(AB)C=C(AB)

例5 求与矩阵        0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A 可交换的一切矩阵. 例6 证明: 如果CAAC, CBBC, 则有 ( ) ( ). ( ) ( ); AB C C AB A B C C A B    