《高等代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 矩阵

5. 2. 3初等矩阵的定义、性质由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵定义2称为初等矩阵00?0n= 40I0O000000OkD,(k) =T24(k) =000福k0

定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵 称为初等矩阵. n = 4        1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 P14               0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 ( ) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ( ) 3 24 k T k k D k

定理1对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左乘A；对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘A。如1、交换A的i，i行相当于用P,左乘A。als1a1a33a2a13[1,3]如= PisAan)a23a22a23an1a22a31a32dild12a13a332、把A的第i行乘以数k相当于用D(k）左乘A.3、把A的第i行乘以后加到第i行相当于用月 T,(k)左乘A即 A_行A EA=A,E为相应的初等矩阵

定理1 对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左 乘A; 对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘 A。如 1、交换A的i ，j 行相当于用 . Pij左 乘 A 11 12 13 31 31 33 [1,3] 21 22 23 21 22 23 13 31 32 33 11 12 13 a a a a a a a a a a a a P A a a a a a a                   如 2、把A的第i 行乘以数k 相当于用 ( ) . Di k 左乘A 3、把A的第j 行乘以k后加到第i 行相当于用 ( ) . Tij k 左乘A 即 . AA  EA  A,E 行 为相应的初等矩阵

定理2初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且D,(k)- = D,(-T,(k)' = T,(-k)A一行→A，则A可逆←A可逆．（初等变换引理1不改变方阵的可逆性）任一mXn矩阵A总可以通过初等变换定理3化为O1r,n-rA=m-r,rm-r,n-r

定理 2 初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 1 1 T k T k k Pij  Pij Di k  Di ij  ij     引理1 ，则 . （初等变换 不改变方阵的可逆性）. A A 行 A可逆 A可逆 定理 3 任一m×n 矩阵A 总可以通过初等变换 化为            m r r m r n r r r n r O O I O A , ,

证由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为n十2n2,r+1*0Cr+1rn000对(*)1作第三种列变换即可化为A

证 由定理4.1.2，A 可通过行及列变换化为 (*) 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 , 1 2 , 1 2 1, 1 1                                 r r rn r n r n C C C C C C 对（*）作第三种列变换即可化为 A

5. 2. 4矩阵可逆的判别n阶矩阵A可逆AI台A可写成初等矩阵的积秩A=n←A}0证明：r,n-r=A①A可逆A→n-r,rn-r,n-r则A可逆，A无零行，即A=I。反之，若A→I，由I可逆知A可逆

n 阶矩阵A可逆 AI A可写成初等矩阵的乘积 秩A n | A| 0 证明： A O O I o A n r r n r n r r r n r             , , , ① A可逆, 则 可逆， 无零行，即 . 反之，若A→I，由I可逆知A可逆. A A A  I