例1. y=（x3-4cosx-sin1），求y及ylx=1解： y=(）（x-4cosx-sin1)+（x3-4cosx-sin1)4cosx- sin1)+ W(3x2 ±4simx4cos1-sin1)+(3+4sin1)sin1-2cos12HIGHER EDUCATIONPRESS上页返回目录下页结束
目录 上页 下页 返回 结束 例1. 解: +4sin x ( 1 1 2 − sin1 ) y= √x ( x 3 − 4cos x− sin1 ) , 求 y ' 及 y ' | x= 1 . y ' = (√x ) ' +√x = 1 2√x ( x 3 − 4cos x− sin1 )+ √x ( 3 x 2 ) y ' | x= 1 = − 4cos1 +( 3+4sin1 ) = 7 2 + 7 2 sin1− 2cos1 ( x 3 − 4cos x− sin1 ) ( x 3 − 4cos x− sin1 )
uvuv(3)u(x)则有证：设f(x)=V(x)u(x+h)ux)f(x+h)= f(x)v(x+h)v(x)f(x)=limhhh-0h二v(x+h)u(x+h)VCXuxv(X)uxhhv(x+h)v(x)二uxxx)v(x故结论成立u(x+h) v(x)- u(x)(@x+h)推论：(+（C为常数HIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 = lim h→0 [ v( x+h)v( x) ] u( x+h)v( x)− u( x)v( x+h) h v( x+h)v( x) ±u( x)v( x) (3) ( u v ) ′ = u ' v− u v ' v 2 证: 设 f ( x)= 则有 f ' ( x)= lim h→0 f ( x+h)− f ( x) h = lim h→0 h u( x) v( x) , u( x+h) v( x+h) − u( x) v( x) u( x+h) h − u( x) v( x) v( x+h) h − u( x) − v( x) = 故结论成立. u ' ( x) v( x)− u( x) v ' ( x) v 2 ( x) 推论: ( C v ) ′ = − C v ' v 2 ( C为常数 )
(tan x)= sec2x, (csex)=- esexcotx例2.求证sinx(sinx)cosx-sinx(cosx(tan x)=证：COSXcos?Xcos?x +sin?xsecCOsX(sinx)GOSX(csc)=2sinxXsinsincscxeotx(cot x)=-csc2x,类似可证：(sec x)= sec xtan xHIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (csc x) ' = ( 1 sin x ) ′ = sin2 x − (sin x) ' = sin2 x 例2. 求证 (tan x) ' = sec2 x , 证: (csc x) ' =− csc xcot x . (tan x) ' = ( sin x cos x ) ′ = cos 2 x (sin x) ' cos x − sin x (cos x) ' = cos 2 x cos 2 x +sin2 x = sec2 x − cos x = − csc xcot x 类似可证: (cot x) ' = − csc2 x , (secx) ' = secxtan x
二、反函数的求导法则设y=f（x)为x=f1(y)的反函数，f1y)在定理2.且[f1(y)]#0y的某邻域内单调可导或X[f(y)]证：在x处给增量△x#0由反函数的单调性知20Ay=f(x+Ax)- f (X)4xAx4y因此Ax一0时必有Ay一0且由反函数的连续性知Ayf (x)= lim三Ax4x-0 Ax[f(y)]4y-0AyHIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 f ' ( x)= 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 设 y= f ( x) 为 x= f − 1 ( y) 的反函数 , f − 1 ( y) 在 且 [ f − 1 ( y)] ' ≠ 0 或 d y d x = Δx≠ 0 , Δy= f ( x+Δx)− f ( x) ¿0 , ∴ Δy Δx = Δx Δy Δx→0 时必有Δy→0 , f ' ( x)= lim Δx→0 Δy Δx = lim Δy→0 Δx Δy d x d y = 1 [ f − 1 ( y)] ' 1 1 [ f − 1 ( y)] ' 1 1