第14章稳恒磁场 号【例141】无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图141a所示），空 腔与导线的两轴线平行，间距为炉，若导体内的电流密度均匀为，」的方向平行与轴 线。求腔内任意点的磁感应强度5。 物图4-l行想图14-， 【解】半径为R的无限长圆柱形直线电流在柱体内离轴线r处的磁感应强度5可根据安培环 路定理： 15-w 即：82g=g2 8= 得 写成矢量形式： 豆，=24j×元 现在在这圆柱形导线内有一空腔，则和原实心圆柱体内在该圆柱形空腔处有一反向电流， 1=一J灯迭加是等效的，反向电流在空腔处产生的磁感应强度： 由达加原理，腔内的磁感应强度 8=瓦，+豆=54j×G-元) 由导线的横截面图b,可得：一产=云
第 14 章 稳恒磁场 【例 14-1】无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图 14-1a 所示），空 腔与导线的两轴线平行，间距为 ，若导体内的电流密度均匀为 ， 的方向平行与轴 线。求腔内任意点的磁感应强度 。 【解】半径为 R 的无限长圆柱形直线电流在柱体内离轴线 r 处的磁感应强度 可根据安培环 路定理： 即： 得： 写成矢量形式： 现在在这圆柱形导线内有一空腔，则和原实心圆柱体内在该圆柱形空腔处有一反向电流， 迭加是等效的，反向电流在空腔处产生的磁感应强度： 由迭加原理，腔内的磁感应强度 由导线的横截面图 b，可得：
B=tojxa B=th 此式表明空腔内是一均匀磁场，它的大小 “,它的方向垂直于J,亦垂直于在。 乡【例142】面积为S载流为，任意形状的平面线圈，它的平面法向单位矢量为产， 它的赋矩。=分，求正在离线圈中心远大于线圈线度的r处的雕感应强度，即赋偶极子 彦=Pw cos日，+4oPm已8 的磁感应强度 23 4m3 【证明】第一步先求如图14-2所示在线圈轴线方向上，离线圈中心了处A点的磁感应 强度B。由毕奥-萨伐尔定律可知，线圈上电流元l1在离它'处的磁感应强度 a=x产 Ams 为便于分析其几何关系，将”放大、产缩小后画成图1(b),式中dB的方向垂直于和 户'所组成的平面，dB在轴线上分量 的，=bo0=r出aeco0 从图1b)中不难看出”m“为矿”和i所组成的平行四边形面积。即以A为顶点，a 为底边的三角形面积的2倍。而dma:c38表示以A为顶点d为底边的三角形在线圈 所在平面上投影面积的2倍，也就是以线圈中心0为顶点！为底边的三角形面积迟的2 倍，因此上式可写成 式中公就是图(b)中的阴影面积，由于所设场点A离线圈中心距离r远大于线圈的线度， 故离A点的距离P'非常接近于r,上式积分中P'可看作常量r,因此 dB=8sm日 dB在垂直轴线方向的分量 由于所设r远大于线圈的线度，所以血日非常接近1，”非常接近于，可将B上近似表 返=%W×产 示为如下矢量形式 43 将沿闭合回路积分，由于r为恒量，所以 成g器小0
此式表明空腔内是一均匀磁场，它的大小 ，它的方向垂直于 ，亦垂直于 。 【例 14-2】面积为 S 载流为 I，任意形状的平面线圈，它的平面法向单位矢量为 ， 它的磁矩 ，求证在离线圈中心远大于线圈线度的 r 处的磁感应强度，即磁偶极子 的磁感应强度 。 【证明】第一步先求如图 14-2a 所示在线圈轴线方向上，离线圈中心 处 A 点的磁感应 强度 B。由毕奥-萨伐尔定律可知，线圈上电流元 在离它 处的磁感应强度 为便于分析其几何关系，将 放大、 缩小后画成图 1（b），式中 的方向垂直于 和 所组成的平面， 在轴线上分量 从图 1（b）中不难看出 为 和 所组成的平行四边形面积，即以 A 为顶点， 为底边的三角形面积的 2 倍。而 表示以 A 为顶点 为底边的三角形在线圈 所在平面上投影面积的 2 倍，也就是以线圈中心 O 为顶点 为底边的三角形面积 的 2 倍，因此上式可写成 式中 就是图（b）中的阴影面积，由于所设场点 A 离线圈中心距离 r 远大于线圈的线度， 故 离 A 点的距离 非常接近于 r，上式积分中 可看作常量 r，因此 在垂直轴线方向的分量 由于所设 r 远大于线圈的线度，所以 非常接近 1， 非常接近于 r，可将 近似表 示为如下矢量形式 将 沿闭合回路积分，由于 r 为恒量，所以
因此在图1(a)条件下，磁偶极子产生的磁感应强度 =成+瓦=，-经 题图14-2(1) 题图142(2) 第二步，如图2()所示，求在远离磁偶极子P的产处在线圈所在平面上磁感应强度。 由毕奥-萨伐尔定律可知，和户都在线圈所在的平面上，线圈上任意一电流元所产生 的B都垂直于线圈所在平面，它的大小 =th! 。为分析其几何关系，将切 放大、广缩小后画成图2(b)。由场点A向线圈引两条割线，截得两电流元和， 这两电流元在场点A处产生的磁感应强度大小分别为： 式中d码加0和，m凸分别表示由1和出及和2：所组成的平行四边形面积2 和公？。由图2(b)可以判别，这两电流元在A处产生的磁感应强度方向相反，这两电流元 产生的总酸感应强度 由于所设r远大于线圈的线度，所以≈方≈》，且A点想线圈所引的两条制线几乎平行， 所以上式可近似表示为： 式中的S就是1和？和两割线间所夹的阴影部分面积，因此整个线圈在A点所产生的磁 感应强度可近似表示为
因此在图 1（a）条件下，磁偶极子产生的磁感应强度 第二步，如图 2（a）所示，求在远离磁偶极子 的 处在线圈所在平面上磁感应强度。 由毕奥-萨伐尔定律可知， 和 都在线圈所在的平面上，线圈上任意一电流元 所产生 的 都垂直于线圈所在平面，它的大小 。为分析其几何关系，将 放大、 缩小后画成图 2（b）。由场点 A 向线圈引两条割线，截得两电流元 和 ， 这两电流元在场点 A 处产生的磁感应强度大小分别为： 式中 和 分别表示由 和 及 和 所组成的平行四边形面积 和 。由图 2（b）可以判别，这两电流元在 A 处产生的磁感应强度方向相反，这两电流元 产生的总磁感应强度 由于所设 r 远大于线圈的线度，所以 ，且 A 点想线圈所引的两条割线几乎平行， 所以上式可近似表示为： 式中的 就是 和 和两割线间所夹的阴影部分面积，因此整个线圈在 A 点所产生的磁 感应强度可近似表示为