根据微分方程解对初值的连续依赖性质,可知 只要x0充分小,对于[t,T之间的任一时刻,x(ttxo) 偏离x=0也可以任意小。现在要问这一性质是否对 [tn,+∞)均成立? 定义7-1对于任意的E>0,都存在8(t,)>0,使得 当x(to)l<8(to,)时有 Ix(t, to, xo)-0 8 x(t)-0 Ix(t, to, xo)<8 Vt to 成立。则称平衡状态ⅹ=0是(李雅普诺夫意义下) 稳定的。 定义7-2若定义7-1中的δ=8(8),即δ与t无关, 则称所定义的稳定为一致稳定
根据微分方程解对初值的连续依赖性质，可知 只要x0充分小，对于[t0,T] 之间的任一时刻，x(t,t0,x0) 偏离x=0也可以任意小。现在要问这一性质是否对 [t0, +∞)均成立？ 定义7-1 对于任意的＞0，都存在(t0,)0，使得 当‖x(t0) ‖＜ (t0,)时有 ‖x(t, t0, x0) ‖＜ t≥ t0 成立。则称平衡状态x=0是（李雅普诺夫意义下） 稳定的。 定义7-2 若定义7-1中的 =() ，即与t0无关， 则称所定义的稳定为一致稳定。 ‖x(t0) -0‖ ‖x(t, t0, x0) -0‖＜
定义7-1李雅普诺夫意义下稳定 对于任意的>0,都存在8(t,)>0,使得当 Ix(to)<8(to, 8) 时有x(t,to,xo)<Et成立。 1,此处δ随着εto而变化 2, x(t, to, xo)<c Vt> to 初值变化充分小,解的变化(仑to)可任意小(不是无 变化)
定义7-1 李雅普诺夫意义下稳定 t t 0 1,此处随着 t0而变化 2,‖x(t, t0, x0) ‖＜ t≥ t0 对于任意的＞0，都存在(t0,)0，使得当 ‖x(t0) ‖＜ (t0,) 时有 ‖x(t, t0, x0) ‖＜ t≥ t0成立。 初值变化充分小，解的变化( t≥ t0)可任意小(不是无 变化)
定义7-3若(a)x=0是稳定的。(b)存在δ(to)>0,使得对 任意的c>0,存在T(E,t0,x0),当(to)<8(to),t> to+T(E,t,xo)时有x(t,to,xo)<E。 则称ⅹ=0为渐近稳定。 (t) (a)x=0是稳定的,x在t>t的行为已决定 (b)是t充分太时的性质 to+ T(E, to, Xo) 1,此处δ(to)是固定的一个范围,(不是任意小的) 2, x(t, to, xo)k8 t>to+ T(E, to, Xo)
定义7-3 若 (a)x=0是稳定的。 (b)存在(t0)0 ，使得对 任意的＞0 ，存在T(, t0, x0) ， 当‖x(t0) ‖＜ (t0) ，t t0 + T(, t0, x0)时有 ‖x(t, t0, x0) ‖＜ 。 则称x=0为渐近稳定。 t0 (t0) t0 + T(, t0, x0) 1,此处(t0)是固定的一个范围，(不是任意小的) 2, ‖x(t, t0, x0) ‖＜ t t0 + T(, t0, x0) (a)x=0是稳定的, x在t t0的行为已决定 (b) 是t充分大时的性质
定义7-3若 (a)x=0是稳定的。 (b)存在δ(0,)>0,使得对任意的E>0,存在T(E,to,xo), 当x(to)<8(to),t>to+T(E,to,x0)时有kx(t,to,xo)<E。 则称ⅹ=0为渐近稳定 定义7-4若 (a)x=0是一致稳定的 (b)存在δ0>0,使得对任意的>0,存在T(), 当kx(t)<δo,t>to+T(8)时有(t,t,xo)<E。 则称ⅹ=0为一致渐近稳定
定义7-3 若 (a)x=0是稳定的。 (b)存在(t0,)0 ，使得对任意的＞0 ，存在T(, t0, x0) ， 当‖x(t0) ‖＜ (t0) ，t t0 + T(, t0, x0)时有‖x(t, t0, x0) ‖＜ 。 则称x=0为渐近稳定。 定义7-4 若 (a)x=0是一致稳定的。 (b)存在0 0 ，使得对任意的＞0 ，存在T() ， 当‖x(t0) ‖＜ 0 , t t0 + T()时有‖x(t, t0, x0) ‖＜ 。 则称x=0为一致渐近稳定