.nb|1 明:设平面波沿素方向传播:叫pi, 若取坐标系的轴平行于k,则体系是轴对称的,并且在θ=0与x有界。 而平面波满足 Helmholtz方程:V2u+k2u=0 此有 r,e,)=explikrcos]=E[cijr)+d, r ()) P/cos y) 其中:jx)和(k门)分别为球 Bessel和球 Hankel函数。 但在r=0,u(G,B,d)有界,故:d=0 curer) elkrx PA(x)dx,利用:PAx) (2-1)dx分部积分 (x2 () elora 反复利用分部积分 与本式第9行比较 (-ikr(r2-1y (ek)dx,分部积分 ikr d (ikr(2D Gi k ry(/-I dear I kr d(kr) (2l+1) 2/ d (ikey dx,比较本式第5行 kr d(kr)J-1 ikr2/! krd(kr)」k d y sin kr (2l+1)i(-1)(kr) =(2l+1)2kr)得证 kr d(kr) kr 故:对沿k向传播的平面波,再利用球谐函数加法公式,有 ek-7=5//+D)jkr)P/cosy)=4r ∑∑n(的 其中Bk和分别为素方向的极角( polar angle)和方位角( azimuthal angle) 思考:仿照程序z1401,写一段代码显示平面波的球面波展开 Q积分表示(参见§34) 其实,早在§3.4,我们就基于 Bessel函数的生成函数,得到整数阶 Bessel函数的积分表示 J,(x)= e-in0+arsine de cos(n6-xsin的de
证明：设平面波沿 k 方向传播 ：exp k·r 若取 坐标系的 z 轴平行于 k, 则体系是轴对称的 ，并且在 θ = 0 与 π 有界。 而平面波满足 Helmholtz 方程：∇2 u + k2 u = 0 因此有 u(r, θ, ϕ) = exp[ k r cos γ] = l=0 ∞ cl jl(k r) + dl hl (1) (k r) Pl(cos γ) 其中： jl(x) 和 hl (1) (k r) 分别为球Bessel和球Hankel函数 。 但在 r = 0，u(r, θ, ϕ) 有界，故：dl = 0. exp[ k r cos γ] = l=0 ∞ cl jl(k r) Pl(cos γ) cl jl(k r) = 2 l + 1 2 -1 1 k r x Pl(x) x, 利用：Pl(x) = 1 2l l! l xl x2 - 1 l = 2 l + 1 2 1 2l l! -1 1 k r x l xl x2 - 1 l x 分部积分 = (2 l + 1) 2l+1 l! k r x l-1 xl-1 x2 - 1 l -1 1 - k r -1 1 k r x l-1 xl-1 x2 - 1 l x = (2 l + 1) 2l+1 l! (- k r) -1 1 k r x l-1 xl-1 x2 - 1 l x 反复利用分部积分 = (2 l + 1) 2l+1 l! (- k r)l -1 1 k r x x2 - 1 l x 与本式第9行比较 = (2 l + 1) 2l+1 l! (- k r)l -1 1 x2 - 1 l 1 k r x k r x x, 分部积分 = (2 l + 1) 2l+1 l! (- k r)l (-2 l) -1 1 k r x k r x x2 - 1 l-1 x = (2 l + 1) 2l+1 l! (- k r)l (-2 l) -1 1 -1 k r k r x (k r) x2 - 1 l-1 x = (2 l + 1) 2l+1 l! (- k r)l 2 l k r (k r) -1 1 k r x x2 - 1 l-1 x, 比较本式第5行 = (2 l + 1) 2l+1 l! (- k r)l 2l l! 1 k r (k r) l -1 1 k r x x, = (2 l + 1) 2 (- k r)l 1 k r (k r) l 2 sin k r k r = (2 l + 1) l (-1)l (k r)l 1 k r (k r) l sin k r k r = (2 l + 1) l jl(k r) 得证。 故：对沿 k 向传播的平面波 ，再利用 球谐函数加法公式 ，有： k · r = l=0 ∞ l (2 l + 1) jl(k r) Pl(cos γ) = 4 π l=0 ∞ m=-l l l jl(k r) Yl m*(θk, ϕk) Yl m(θ, ϕ) 其中 θk 和 ϕk 分别为 k 方向的极角 (polar angle) 和方位角 (azimuthal angle)。 思考：仿照程序 z14 .01，写一段代码显示平面波的球面波展开 。 积分表示（参见§ 3.4 ） 其实，早在 § 3.4，我们就基于Bessel函数的生成函数，得到整数阶Bessel函数的积分表示 Jn(x) = 1 2 π 0 2 π - n θ + x sin θ θ = 1 2 π 0 2 π cos(n θ - x sin θ) θ z14a.nb 11
12 z14a nb 当n=0时,Jx)= eixsine de= viscose d(利用被积函数的周期性) 以下再简要回顾证明过程 由生成函数:e =)J(x)z,展开系数由 Laurent展开公式给出 x/2)(=-1) J,(x d,C为包围原点的任意一条闭合曲线。 取C为圆心于原点的单位圆,z=e6 Jn(x)= de= cos(x sine-n0de+ sin(x sin 0-n0)de 化为积分,被积函数为奇函数 对非整数阶,自然不能利用生成函数,只能基于级数表示。 J4x)=(-1) 台k!(k+r+1)(2 平面 利用§54中r函数的积分表示 LI e(-0-d I(=)2丌 意是沿复平面上的一条路径C积分,(-2是多值函数,割线从原点沿正实轴到无穷远 积分路径C可连续变形至:L1+L2+Cr arg(-.)=-r, arg(-)=丌 故:r函数的积分表示改写为: 平面 e-e-ims'ds I(=)2 Li: arg(4=0 这样 做复变量变换 ,则有 特别注意积分路线的变换 r() 2 Ti 在平面的L1时,arg(a)=05=c-4 g()=-丌在s平面的负实轴上 在平面的L2时,ag(0=2x兰C"ag(s)=+r也在s平面的负实轴上 在<平面的Cr时,arg(a增加,对应到s平面,arg(s)也应增加 在平面的从L1经Cr到L2,是绕小圆逆时针转一周 在s平面的从L1经C到L,也是绕小圆逆时针一周 在s平面,“两个负实轴”是分开的之间有割线∫4应该在下半平面 从经C逆时针转一周到l 才能逆时针转到L5 在复s平面,割线与积分路径如右图所示,在{4ag()=一 Li: arg(s)=T
当 n = 0 时，J0(x) = 1 2 π 0 2 π x sin θ θ = 1 2 π 0 2 π x cos θ θ （利用被积函数的周期性 ） 以下再简要回顾证明过程： 由生成函数 ： x 2 (z-z-1) = n=-∞ ∞ Jn(x)zn，展开系数由 Laurent 展开公式给出 Jn(x) = 1 2 π C (x/2) (z-z-1) zn+1 z， C 为包围原点的任意一条闭合曲线 。 取 C 为圆心于原点的单位圆 ，z = θ Jn(x) = 1 2 π 0 2 π x sin θ n θ θ = 1 2 π 0 2 π - n θ + x sin θ θ = 1 2 π 0 2 π cos(x sinθ - n θ) θ + 2 π 0 2 π sin(x sin θ - n θ) θ 积分为0 化为积分∫-π π ，被积函数为奇函数 对非整数阶，自然不能利用生成函数，只能基于级数表示。 Jv(x) = k=0 ∞ (-1)k k ! Γ(k + v + 1) x 2 2 k+v 利用 §5 .4 中 Γ 函数的积分表示 ： 1 Γ(z) = 2 π C′ -ζ(-ζ) -z ζ C′ L2 Cr ζ 平面 L1 注意是沿复平面 ζ 上的一条路径 C′ 积分，(-ζ)z 是多值函数 ，割线从原点沿正实轴到无穷远 。 积分路径 C′ 可连续变形至 ：L1 + L2 + Cr，在 L1： arg(-ζ) = -π, L2： arg(-ζ) = π 故：Γ 函数的积分表示改写为 ： 1 Γ(z) = 2 π C′ -ζ- π ζ -z ζ 这样，在 L1： arg(ζ) = 0 L2：arg(ζ) = 2 π 做复变量变换 s = - π ζ, 则有 1 Γ(z) = 1 2 π C″ s s-z s 特别注意积分 路线的变换 。 在 ζ 平面的 L1 时，arg(ζ) = 0 s = - π ζ arg(s) = -π 在 s 平面的负实轴上 在 ζ 平面的 L2 时，arg(ζ) = 2 π s = - π ζ arg(s) = +π 也在 s 平面的负实轴上 在 ζ 平面的 Cr 时，arg(ζ) 增加，对应到 s 平面， arg(s) 也应增加 在 ζ 平面的从 L1 经 Cr 到 L2，是绕小圆逆时针转一周 在 s 平面的从 L1 ′ 经 Cr ′ 到 L2 ′，也是绕小圆逆时针一周 故： 在 s 平面，“两个负实轴 ” 是分开的 从 L1 ′ 经 Cr ′ 逆时针转一周到 L2 ′ 之间有割线 L1 ′ 应该在下半平面 才能逆时针转到 L2 ′ 在复 s 平面，割线与积分路径如右图所示 。在 L1 ′：arg(s) = -π L2 ′：arg(s) = π 12 z14a.nb