这样得到的正交多项式序列有以下性质：(1) n(x)是最高次系数为1的 n 次多项式;(2)任何 n次多项式P(x)均可表示为：的线性组合Po(x),(x),,Pn(x),(3) 当 kj时,(p,(x),P(x)=0,且pk(x) 与任一次数小于k的多项式正交。(4）成立递推关系Pn+I(x)=(x-αn)p,(x)-β,Pn-I(x) (n=0,1, ..)其中:Po(x) =1, β-i(x)= 0,上页下页返圆
上页 下页 返回 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0,1, ) n n n n n x x x x n 0 1 ( ) 1, ( ) 0, x x 其中： 这样得到的正交多项式序列有以下性质： ( ) n (1) x 是最高次系数为1的 n 次多项式； k j ( ( ), ( )) 0 j k x x ( ) k x k (3) 当 时， ,且 与任一次 数小于 的多项式正交。 (4) 成立递推关系 0 1 ( ), ( ), , ( ), n x x x n ( ) (2) 任何 次多项式 P x n 均可表示为： 的线性组合
α, =(xp,(x),P,(x)) /(,(x),Pn(x))β, =(P,(x),P,(x))/(Pn-1(x),Pn-1(x), (n =1,2, ...)这里 (xp,(x),P,(x)= ( xp(x)p,(x)dx(5）设(g,(x)~,是在[a,b]上带权p(x)的正交多项式序列,则,g,(x)(n≥1) 的 n 个根都是在区间 (a,b)内的单重实根。下面给出几种常见的正交多项式。上页下页返圆
上页 下页 返回 ( ( ), ( )) /( ( ), ( )), n n n n n x x x x x 1 1 ( ( ), ( )) /( ( ), ( )), ( 1,2, ) n n n n n x x x x n 下面给出几种常见的正交多项式。 2 ( ), ( ) ( ) ( ) b n n n a x x x x x x dx 这里 0 ( ) n i x (5) 设 是在 [ , ] a b 上带权 ( ) x 的正交多项式序列， n ( ) ( 1) ( , ) a b n 则 x n 的 个根都是在区间 内的单重 实根