果能展开成的幂级数，则这种展开式是唯一的，它 一定等于（的麦克劳林级数。下面讨论把函数 展研 成的幂级数的方法。 涵 -秋私
果能展开成 的幂级数，则这种展开式是唯一的，它 一定等于 的麦克劳林级数。下面讨论把函数 展开 成 的幂级数的方法。 x f x( ) f x( ) x
5.5.2初等函数展开成幂级数 1.直接法 把函数f(x)展开成泰勒级数，可按下列步骤进行 (1)求出 f(x)的各阶导数f(x) nc0,1,2,… 如果某阶导数不存在，则f(x,)不能展开成x的幂级数； (2)写出对应的泰勒级数 以r,并求出 n=0 该级数的收敛区间|x-xkR
5.5.2初等函数展开成幂级数 1．直接法 把函数 f x( ) 展开成泰勒级数，可按下列步骤进行： f x( ) ( ) 0 ( ) n f x n = 0,1, 2, f x( ) (1)求出 ,的各阶导数 ， 。 如果某阶导数不存在，则 不能展开成 的幂级数； ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ! n n n f x x x n = − 0 | | x x R − (2)写出对应的泰勒级数 该级数的收敛区间 ; ，并求出 x
(3)验证在 R内mR.w=0:人 (4)写出所求函数f(x)的泰勒级数及其收敛区间 霸 --ylkR n=0 下面我们来讨论基本初等函数的麦克劳林级数
0 | | x x R − lim ( ) 0 n n R x → = f x( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! n n n f x f x x x n = = − 0 | | x x R − (3)验证在 内， (4)写出所求函数 的泰勒级数及其收敛区间 下面我们来讨论基本初等函数的麦克劳林级数。 ；
少例5-24将函数f(x)=e展开成X幂级数 解由m(x)=e,得fm(0)=1(n=0,12,) 于是f(x)的麦克劳林级数为 1 1+x+ x。十十 涵 2! n！ 涵 该级数的收敛半径R=寸o0
例5-24 将函数 解 ( ) x f x e = 展开成 x 幂级数。 ( ) ( ) n x f x e = ( ) (0) 1 n f = ( 0,1,2, ) n = f x( ) 1 1 2 1 2! ! n x x x n + + + + + 由 ，得 于是 的麦克劳林级数为 ， 该级数的收敛半径 R = + 。