例6求y= arcsin的导数 解y= arcsin x,是x=siny的反函数, 则x=siny在 Z )内单调、可导, 22 arcsin x (sin y)cosy (cos y>0) -sin2y√1-x arcsinx=
例6 在 内单调、可导， π π ) 2 , 2 x = sin y (− (cos y 0) 求 y = arcsin x 的导数. 解 y = arcsin x, 是 x = sin y的反函数， 则 ( ) arcsin x ( ) = sin y 1 cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = ( ) 2 1 1 arcsin x x − = 2 1 1 − x =
类似可得( arccos arctan= 1+x arc cotx= 1+x 三、复合函数的求导法则 反例y=sin2x,求y 种解法是 (SInr)= cosx sin 2x,'cos 2x
类似可得 ( ) 2 1 1 arccos x x − = − ( ) 2 1 1 arctan x x + = ( ) 2 1 1 arc cot x x + = − 反例 y = sin2x, 求 y'. (sin x)'= cos x (sin2x)'= cos 2x 三、复合函数的求导法则 一种解法是
另一种解法是: (sin 2x)'=(2 sin x cos x )'=2 cosx-2sinx =2c0Sx-2sin'x=2cos 2x 如果u=p(x)在点x0可导,而y=f(a)在点 =p(x)可导,则复合函数y=fp(x在点x0 可导且d drltsxo =f(uop(ro) dydy du L r au ar
(sin 2x)'= (2sin x cos x)' 另一种解法是： x x 2 2 = 2cos − 2sin 2cos x 2sin x 2cos 2x 2 2 = − = 0 可导，则复合函数y = f[(x)]在点x 如果u = (x)在点 x0 可导,而y = f (u)在点 ( ) 0 0 u = x x u u y x y d d d d d d = x u ux y = y 可导, 且 ( ) ( ) 0 u0 x0 f x y x x = = d d