傅里叶级数 1+∑( a. cos nx+ b sin nx) 2 问题: f(x)条件?+∑ a cos nr+ h sinn) 2
傅里叶级数 + + =1 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a 问题: + + =1 0 ( cos sin ) 2 ( ) ? n an nx bn nx a f x 条件
2.狄利克雷( Dirichlet)充分条件(收敛定理 设f(x)是以2π为周期的周期函数.如果它满足条件 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且 至多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛, 并且 (1)当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x); (2)当x是f(x)的间断点时,收敛于 f(x-0)+f(x+0) 2 (3)当x为端点x=土π时,收敛于 f(-元+0)+f(兀-0) 2
2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理) 设 f (x)是以2 为周期的周期函数.如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且 至多只有有限个极值点,则f (x) 的傅里叶级数收敛, 并且 (1) 当x 是 f (x)的连续点时,级数收敛于f (x) ; (2)当x是 f ( x)的间断点时,收敛于 2 f (x − 0) + f (x + 0) ; (3) 当x 为端点x = 时,收敛于 2 f (− + 0) + f ( − 0)
注意:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多 例1以2丌为周期的矩形脉冲的波形 u(t) E‘E 0<t<丌 丌<t<0 将其展开为傅立叶级数 解所给函数满足狄利克雷充分条件 在点t=kπ(k=0,±1,±2,…)处不连续 收敛于 Emn tEm Em+(e 0 2 2
注意: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多. 解 例 1 以2 为周期的矩形脉冲的波形 , 0 ( ) , 0 m m E t u t E t = − − 将其展开为傅立叶级数. o t u − m E − Em 所给函数满足狄利克雷充分条件. 在点t = k(k = 0,1,2, )处不连续. 2 收敛于− Em + Em 2 ( ) Em + −Em = = 0