2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 2+-十,2 12√2 im(√2x2+x-√2x2+1)=lim 2x2+x+√2x2+1 因此该极限不存在,因此选(D) 例2.2求极限m/32, er sin x e 【解】错误做法举例 2+e 2+e 2e x+e 2+er 2, lim =0,因此lim 1-x4x 不存在 x→0 x→ i= lim sin x=-1,mSnx∠1, lim sinx也不存在 x→0 由此得出结论原极限不存在。这一做法的错误在于没有正确使用极限的运算准则。极限运算 准则均为充分条件,两个极限不存在的函数,其和的极限未必不存在。正确做法如下: 2+ sInx 2+ SIr lim =0+1=1 ±x→0|x 1+e 1 2+ex sinx 2+e li lim lim sin.r =2-1=1 1+ex 1+ex 2+ex sin x 于是lim 例2.3已知极限Im =e2,求常数a。 【解】已知极限为“1°”型,应考虑应用标准极限2。将已知极限表达式凑成标准型, 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 6网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 = + + + − = →+∞ x x x x lim lim ( 2 2 1) 2 2 + − + →−∞ x x x x 2 2 1 1 2 2 + + + − = →−∞ x x x x x lim 2 2 1 1 2 1 2 1 1 lim 2 = − − + − + − = →−∞ x x x x ，因此该极限不存在，因此选(D)。 例 2．2 求极限 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + → | | sin lim x x e e x x x 4 1 0 1 2 【解】错误做法举例 2 1 2 4 1 0 = + + → − x x x e e lim ， 0 1 2 1 2 4 4 3 0 4 1 0 = + + = + + − − − → + → + x x x x x x x e e e e e lim lim ，因此 x x x e e 4 1 0 1 2 + + → lim 不存在。 = → − | | sin lim x x x 0 1 0 = − − → − x x x sin lim ， 1 0 = → + | | sin lim x x x ， | | sin lim x x x→0 也不存在。 由此得出结论原极限不存在。这一做法的错误在于没有正确使用极限的运算准则。极限运算 准则均为充分条件，两个极限不存在的函数，其和的极限未必不存在。正确做法如下： = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + → + | | sin lim x x e e x x x 4 1 0 1 2 + + + → + x x x e e 4 1 0 1 2 lim 0 1 1 0 = + = → + | | sin lim x x x = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + → − | | sin lim x x e e x x x 4 1 0 1 2 + + + → − x x x e e 4 1 0 1 2 lim 2 1 1 0 = − = → − | | sin lim x x x 于是 1 1 2 4 1 0 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + → | | sin lim x x e e x x x 。 例 2．3 已知极限 2 1 1 − − →∞ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − e x x a x x lim ，求常数a 。 【解】已知极限为“ ”型，应考虑应用标准极限 2。将已知极限表达式凑成标准型， ∞ 1 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 6 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805
2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 由lm1+ e,应用复合极限定理得到 令 即有1-a=-2,a=3。 例2.4求极限 【解】limx2e =cx(=-) lim e x(1-cos lim e-1r2. I 例25求极限imx32-3 【解】imx2|3x-3+=imx2.3x+13xx+1-1 =imx2,3-|e-+%5 li ln3=1.1·ln3 x(x+1) 下列做法是错误的第二个等号犯了极限运算法则运用错误,答案对实属巧合。 imx23x-3x*|=limx(3x-1)-(3x+1-1 (3x-1)-limx2(3x+-1) 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 7网址:www.tsinghuatutor.com电话82378805
2008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 1 1 − →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − x x x x a lim (1 ) 1 1 1 1 lim 1 a a x x x a ⋅ − − − →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = + a a x x x a − − − →∞ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = + 1 1 1 1 1 lim 1 由 e x a a x x ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ⋅ − − →∞ 1 1 1 1 lim 1 ，应用复合极限定理得到 1 1 − →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − x x x x a lim a e − = 1 −2 = e ， 令 ，即有 a e 1− −2 = e 1 − a = −2, a = 3。 例 2.4 求极限 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − →+∞ 1 1 2 x e e x x cos lim 【解】 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − →+∞ 1 1 2 x e e x x cos lim ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − →+∞ 1 1 1 1 2 x x e x e cos lim lim ( cos ) x e x x 1 1 1 2 = − − →+∞ 1 2 1 2 2 1 2 − 1 − →+∞ = ⋅ = e x e x x lim 。 例 2.5 求极限 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ 1 1 1 2 3 3 x x x lim x 【解】 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ 1 1 1 2 3 3 x x x lim x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ − + − + →+∞ 3 3 1 1 1 1 1 1 2 x x x x lim x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ − + + →+∞ 3 1 3 1 1 1 1 2 ln ( ) lim x x x x x e 3 1 1 3 1 1 3 1 1 2 ln ln ( ) lim = ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + →+∞ x x x x x 。 下列做法是错误的！第二个等号犯了极限运算法则运用错误，答案对实属巧合。 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ 1 1 1 2 3 3 x x x lim x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − + →+∞ lim (3 1) (3 1) 1 1 1 2 x x x x lim (3 1) lim (3 1) 1 1 2 1 2 = − − − + →+∞ →+∞ x x x x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − →+∞ →+∞ lim 1 lim 1 ln 3 1 1 2 ln 3 1 2 x x x x x e x e 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 7 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805