所以 3(2 + 2) +4(3 - 32) = 0 ,所以1=2，代入①式得所求直线方程为4x-3y+9=0[答案】(1)C(2)B(3)4x—3y+9=0[解题技法]1．两直线平行、垂直的判断方法若已知两直线的斜率存在：（1)两直线平行台两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直台两直线的斜率之积等于-1.2.解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否前思雷要分类讨论在解题后要检验答案的正确性，看是否出后想现增解或漏解[跟踪训练]1.已知直线4x十my一6=0与直线5x一2y十n=0垂直，垂足为(t1)，则n的值为(0A. 7B. 9C. 11D. -7解析：选A由直线4x+my-6=0与直线5x-2y+n=0垂直得，20-2m=0，m=10直线4x+10y-6=0过点(t,1)，所以4t+10-6=0，t=-1.点（-1,1)又在直线5x-2y+n=0上，所以-5-2+n=0，n=7.2.已知两条直线h：ax一by十4=0和12：（a-1)x+y+b=0，求满足下列条件的a，b的值.(1)上2，且过点(-3，-1);(2)// l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等。解：（1)由已知可得l2的斜率存在，且k2=1-a.若k2=0，则1-a=0，a=1l工l2，直线li的斜率ki必不存在，即b=0
所以 3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0， 所以 λ＝2，代入①式得所求直线方程为 4x－3y＋9＝0. [答案] (1)C (2)B (3)4x－3y＋9＝0 [解题技法] 1．两直线平行、垂直的判断方法 若已知两直线的斜率存在：(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不 等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. 2．解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” [跟踪训练] 1．已知直线 4x＋my－6＝0 与直线 5x－2y＋n＝0 垂直，垂足为(t,1)，则 n 的值为( ) A．7 B．9 C．11 D．－7 解析：选 A 由直线 4x＋my－6＝0 与直线 5x－2y＋n＝0 垂直得，20－2m＝0，m＝10. 直线 4x＋10y－6＝0 过点(t,1)，所以 4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线 5x－2y＋n＝ 0 上，所以－5－2＋n＝0，n＝7. 2．已知两条直线 l1：ax－by＋4＝0 和 l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的 a，b 的值． (1)l1⊥l2，且 l1 过点(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)由已知可得 l2 的斜率存在， 且 k2＝1－a.若 k2＝0，则 1－a＝0，a＝1. ∵l1⊥l2，直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b＝0
又%过点-3，-1)，-3a+4=0，即a=）(矛盾）：此种情况不存在，：.k2手0即k1，k2都存在不为0a:=1-a,k--,hth,.kik=-1,即(1 - 0)= - 1.又过点(-3，-1)，-3a+b+4=0.?由?②联立，解得a=2，b=2.(2):2的斜率存在，l1// l2，直线l的斜率存在，k=kz，即==1-a.③又：坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1//2+l1，在y轴上的截距互为相反数，即=b.A[a-2[a=2,a=3联立③④，解得或[b=-2Lb=2.2..a=2，b=—2或ab=2.3号点二两条直线的交点与距离问题[师生共研过关][例2)(1)(2020·全国感Ⅲ)点(0，-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(1B. V2A. 1C. V3D. 2(2)若两平行直线l：x-2y+m=0(m>0)与：2x+my一6=0之间的距离是V5，则m+n=(）A. 0B. 1C. -2D. -1[解析]（1)法一：由点到直线的距离公式知点(0，-1)到直线y=k(x+1)的距离d=K2+2k+1[k-0 +( - 1) (- 1) + k)[k+1]2k.当k=0时，d=1当k±0k2 +1k2 +1VR+iVk+1
又∵l1 过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即 a＝ 4 3 (矛盾)， ∴此种情况不存在，∴k2≠0，即 k1，k2 都存在且不为 0. ∵k2＝1－a，k1＝ a b ，l1⊥l2，∴k1k2＝－1， 即 a b (1－a)＝－1.① 又∵l1 过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②联立，解得 a＝2，b＝2. (2)∵l2 的斜率存在，l1∥l2， ∴直线 l1 的斜率存在，k1＝k2，即a b ＝1－a.③ 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1∥l2， ∴l1，l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即4 b ＝b.④ 联立③④，解得 a＝2， b＝－2 或 a＝ 2 3 ， b＝2. ∴a＝2，b＝－2 或 a＝ 2 3 ，b＝2. 两条直线的交点与距离问题 [师生共研过关] [例 2] (1)(2020·全国卷Ⅲ)点(0，－1)到直线 y＝k(x＋1)距离的最大值为( ) A．1 B． 2 C． 3 D．2 (2)若两平行直线 l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与 l2：2x＋ny－6＝0 之间的距离是 5，则 m ＋n＝( ) A．0 B．1 C．－2 D．－1 [解析] (1)法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线 y＝k(x＋1)的距离 d＝ |k·0＋(－1)·(－1)＋k| k 2＋1 ＝ |k＋1| k 2＋1 ＝ k 2＋2k＋1 k 2＋1 ＝ 1＋ 2k k 2＋1 .当 k＝0 时，d＝1；当 k≠0
2k要使d最大，需k>0且k+最小，．当k=1时，时,d=k +1k+kdmax=V2,故选 B.法二：记点A(0，-1)，直线y=k(x+1)恒过点B(-1,0)，当AB垂直于直线y=k(x+1)时，点A(0，-1)到直线y=k(x+1)的距离最大，且最大值为AB=V2，故选B(2)因为l，平行，所以1×n=2×（-2），1×（-6)≠2×m，解得n=-4，m≠-3，(m + 3]=V5，解得m=2或m=所以直线h：x-2y-3=0.又1，1之间的距离是V5，所以V1+4-8(舍去)，所以m+n=-2，故选C.[答案］(1)B(2)C[解题技法]1.点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式2.两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；2)利用两平行线间的距离公式，[跟踪训练]1.（2021·河南安阳模拟）若三条直线y=2x，x十y=3，mx十2y十5=0相交于同一点，则m的值为[y= 2x ,[x=1,解析：由得y=2.[x+y=3所以点(1,2)满足方程mx+2y+5=0，即m×1+2×2+5=0，所以m=-9答案：92.(2021·福州模拟)若P，Q分别为直线3x十4y—12=0与6x+8y十5=0上任意一点，则|PQ|的最小值为
时，d＝ 1＋ 2k k 2＋1 ＝ 1＋ 2 k＋ 1 k ，要使 d 最大，需 k>0 且 k＋ 1 k 最小，∴当 k＝1 时， dmax＝ 2，故选 B. 法二：记点 A(0，－1)，直线 y＝k(x＋1)恒过点 B(－1,0)，当 AB 垂直于直线 y＝k(x＋1) 时，点 A(0，－1)到直线 y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝ 2，故选 B. (2)因为 l1，l2 平行，所以 1×n＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m，解得 n＝－4，m≠－3， 所以直线 l2：x－2y－3＝0.又 l1，l2 之间的距离是 5，所以 |m＋3| 1＋4 ＝ 5，解得 m＝2 或 m＝ －8(舍去)，所以 m＋n＝－2，故选 C． [答案] (1)B (2)C [解题技法] 1．点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． 2．两平行线间的距离的求法 (1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的 距离； (2)利用两平行线间的距离公式． [跟踪训练] 1．(2021·河南安阳模拟)若三条直线 y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0 相交于同一点，则 m 的值为_． 解析：由 y＝2x， x＋y＝3 得 x＝1， y＝2. 所以点(1,2)满足方程 mx＋2y＋5＝0， 即 m×1＋2×2＋5＝0，所以 m＝－9. 答案：－9 2．(2021·福州模拟)若 P，Q 分别为直线 3x＋4y－12＝0 与 6x＋8y＋5＝0 上任意一点， 则|PQ|的最小值为_．
- 1234.解析：因为，所以两直线平行，将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=6-8→51- 24 - 5] 290，由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，即=%,所以[PQ]的最小V62+82值为%29答案：10考点对称问题[师生共研过关][例3]已知直线l：2x一3y十1=0，点A(一1，-2).(1)求点A关于直线1的对称点A'的坐标；(2)求直线m：3x一2y一6=0关于直线/的对称直线m的方程。[解】(1)设A'(x，J），再由已知得y+22x=.33-1x+1313解得4x-1y-2y=132X+1=022334所以A13(2)在直线m上取一点，如M(2,0），则M(2.0)关于直线/的对称点M必在m上.设a+2b+02X-3X+1=0,2230).6解得M0.设m与1的交对称点为M（a，b)，则(3°13)b-00-2[2x - 3y+1=0 ,点为N，则由得N(4,3）：又因为m经过点N(4,3)，所以由两点式得直3x-2y-6=0线m方程为9x-46y+102=0.[对点变式](变设问)在本例条件下，则直线1关于点A（一1，一2)对称的直线1的方程为
解析：因为3 6 ＝ 4 8 ≠ －12 5 ，所以两直线平行，将直线 3x＋4y－12＝0 化为 6x＋8y－24＝ 0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即 |－24－5| 6 2＋8 2 ＝ 29 10，所以|PQ|的最小 值为29 10. 答案：29 10 对称问题 [师生共研过关] [例 3] 已知直线 l：2x－3y＋1＝0，点 A(－1，－2)． (1)求点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标； (2)求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程． [解] (1)设 A′(x，y)，再由已知得 y＋2 x＋1 × 2 3 ＝－1， 2× x－1 2 －3× y－2 2 ＋1＝0， 解得 x＝－ 33 13， y＝ 4 13， 所以 A′ － 33 13， 4 13 . (2)在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在 m′上．设 对称点为 M′(a，b)，则 2× a＋2 2 －3× b＋0 2 ＋1＝0， b－0 a－2 × 2 3 ＝－1， 解得 M′ 6 13， 30 13 .设 m 与 l 的交 点为 N，则由 2x－3y＋1＝0， 3x－2y－6＝0， 得 N(4,3)．又因为 m′经过点 N(4,3)，所以由两点式得直 线 m′方程为 9x－46y＋102＝0. [对点变式] (变设问)在本例条件下，则直线 l 关于点 A(－1，－2)对称的直线 l′的方程为_．
解析：法一：在1：2x-3y+1=0上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)则M，N关于点A的对称点M，N均在直线I上.易知M(-3,-5),N(-6,-7),由两点式可得1″的方程为2x-3y-9=0.法二：设P(x，y)为1上任意一点，则 P(x,J)关于点A(-1，-2)的对称点为pl (-2-x,-4-y).:Pp在直线1上，.2(-2-x)-3(-4-J)+1=0,即2x-3y-9=0答案：2x—3y—9=0[解题技法]点关于点的对称：求点P关于点M(u,b)的对四→称点Q的问题，主要依据M是线段PQ的中种点，即+1=20y+y0=2b求解常直线关于点的对称：求直线1关于点M（mn)的对称直线1的问题，主要依据！上的任一点T（，y)关于Mm，w的对称点T(2m一，2元对一以必在直线1上称点关于直线的对称：求已知点A（m，n）关于已向知直线l:y=kr+b的对称点A（30，30）的坐→标，一般方法是依据1是线段AA的垂直平分题线，列出关于0，的方程组，由“垂直”得一求方程，由“平分”得一方程直线关于直线的对称：此类问题一般转化为方点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交，二是已知直线与对称轴平行[跟踪训练]1.直线x一2y十1=0关于x=1对称的直线方程是（）A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=0解析：选D由已知，直线x-2y+1=0与x=1的交点坐标为（11），又直线x-2y+1
解析：法一：在 l：2x－3y＋1＝0 上任取两点， 如 M(1,1)，N(4,3)， 则 M，N 关于点 A 的对称点 M′，N′均在直线 l′上． 易知 M′(－3，－5)，N′(－6，－7)， 由两点式可得 l′的方程为 2x－3y－9＝0. 法二：设 P(x，y)为 l′上任意一点， 则 P(x，y)关于点 A(－1，－2)的对称点为 P′(－2－x，－4－y)， ∵P′在直线 l 上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即 2x－3y－9＝0. 答案：2x－3y－9＝0 [解题技法] [跟踪训练] 1．直线 x－2y＋1＝0 关于 x＝1 对称的直线方程是( ) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 解析：选 D 由已知，直线 x－2y＋1＝0 与 x＝1 的交点坐标为(1,1)，又直线 x－2y＋1