第二节两直线的位置关系[备考领航]关联考点核心素养课程标准解读1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直，1.两条直线的位置关系2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐2.两条直线的交点与距离问1.直观想象标.题,2.数学运算3.探索并掌握平面上两点间的距离、点到直3.对称问题线的距离公式，会求两条平行直线间的距离知识逐点夯实重点准遂点清结论要牢记课前自修[重点准·逐点清]重点一两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直条件斜率的关系两直线位置关系ki=k2平行ki与kz都不存在两条不重合的直线l1，kik=-1l，斜率分别为ki，kz垂直ki与 kz一个为零、另一个不存在【提醒】在判断两条直线的位置关系时，容易忽视斜率是否存在，若两条直线斜率存在，则可根据条件进行判断，若斜率不存在，则要单独考虑2.两条直线的交点
第二节 两直线的位置关系 [备考领航] 课程标准解读 关联考点 核心素养 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直． 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐 标． 3.探索并掌握平面上两点间的距离、点到直 线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 1.两条直线的位置关系． 2.两条直线的交点与距离问 题． 3.对称问题 1.直观想象． 2.数学运算 [重点准·逐点清] 重点一 两条直线的位置关系 1．两条直线平行与垂直 条件 两直线位置关系 斜率的关系 两条不重合的直线 l1， l2，斜率分别为 k1，k2 平行 k1＝k2 k1 与 k2 都不存在 垂直 k1k2＝－1 k1 与 k2 一个为零、另 一个不存在 [提醒] 在判断两条直线的位置关系时，容易忽视斜率是否存在，若两条直线斜率存在， 则可根据条件进行判断，若斜率不存在，则要单独考虑． 2．两条直线的交点
方程组有唯一解相交直线l：A,x+B,y+C,=0与l:Azx+B,y+Cz=0的公共点的坐标与方程组方程组无解平行A,x+B,y+C1=0,x+By+C,-0的解对应方程组有无穷多解重合[逐点清]1.（必修2第103页例2改编）两条直线l1：2x十y1=0和l2:x一2y十4=0的交点为)A.C(3)B. (1-2, -9)5..2x=2x+y-1=05'得解析：选B解方程组9x-2y+4=0,L"S'(.2.2)所以两直线的交点为(5-52.（必修2第109页A组3题改编）若直线m一3y2=0与直线(2一m)x—3y十5=0互相平行，则实数m的值为(A. 2B. -1C.1D.0解析：选C两直线平行，其系数满足关系式-3m=-3(2-m），解得m=1.3.（易错题）若直线l1：ax一(a十1)y十1=0与直线l2：2x一ay-1=0垂直，则实数a=)(A.3B. 0D.0或-3C.-3解析：选D直线l与直线l垂直，2a+a(a+1)=0，整理得+3a=0，解得a=0或a=-3.故选D.重点二 三种距离类型条件距离公式点 Pi(x1, y1), P2(x2, y2)之两点间的距离[PiP2/=V(x2-x)°+(2-)2间的距离
[逐点清] 1．(必修 2 第 103 页例 2 改编)两条直线 l1：2x＋y－1＝0 和 l2：x－2y＋4＝0 的交点为 ( ) A． 2 5 ， 9 5 B． － 2 5 ， 9 5 C． 2 5 ，－ 9 5 D． － 2 5 ，－ 9 5 解析：选 B 解方程组 2x＋y－1＝0， x－2y＋4＝0， 得 x＝－ 2 5 ， y＝ 9 5 ， 所以两直线的交点为 － 2 5 ， 9 5 . 2．(必修 2 第 109 页 A 组 3 题改编)若直线 mx－3y－2＝0 与直线(2－m)x－3y＋5＝0 互 相平行，则实数 m 的值为( ) A．2 B．－1 C．1 D．0 解析：选 C 两直线平行，其系数满足关系式－3m＝－3(2－m)，解得 m＝1. 3．(易错题)若直线 l1：ax－(a＋1)y＋1＝0 与直线 l2：2x－ay－1＝0 垂直，则实数 a＝ ( ) A．3 B．0 C．－3 D．0 或－3 解析：选 D ∵直线 l1 与直线 l2 垂直，∴2a＋a(a＋1)＝0，整理得 a 2＋3a＝0，解得 a＝ 0 或 a＝－3.故选 D. 重点二 三种距离 类型 条件 距离公式 两点间的距离 点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之 间的距离 |P1P2|＝ (x2－x1) 2＋(y2－y1) 2
点Po(xo，yo)到直线l:Ax+Axo+Bye+aA点到直线的距离A+B?By十C=0的距离l:Ax+By+C=0与l:Gi-Cl两平行直线间的距离VA+B?Ax+By+C2=0的距离【提醒】在运用两平行直线间的距离公式时，易忽视两方程中的x，J的系数分别相等这一条件，从而盲目套用公式导致出错，[逐点清]4.（必修2第110页B组2题改端）已知点(a,2)(a>0)到直线l：x一y十3=0的距离为1则a=[a - 2 + 3]解析：由题意得，12+(- 1)2..Ja+1|= V2, :a>0, ..a= V2 - 1.答案：V2-15.（易错惠）已知直线3x十4y一3=0与直线6x+8y+14=0平行，则它们之间的距离是-3-7解析：直线6x+8y+14=0可化为3x+4y+7=0，两平行线之间的距离d:V3°+ 422.答案：2【记结论提速度][记结论]1.两个充要条件(1)直线l：Aix+Biy+Ci=0与直线l2:Azx+Bzy+C2=0垂直的充要条件是AvAz+B1B2=0;(2)直线li:Aix+Biy+G=0与直线h:Azx+Bzy+C2=0平行或重合的充要条件是AiB2—A2B=0.2.直线系方程(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mER且m≠C)；(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx一Ay+n=0(nER)；(3)过直线l：Aix+By+Ci=0与l2Azx+Bzy+C2=0的交点的直线系方程为Ax+
点到直线的距离 点 P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋ By＋C＝0 的距离 d＝ |Ax0＋By0＋C| A 2＋B 2 两平行直线间的距离 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2： Ax＋By＋C2＝0 的距离 d＝ |C1－C2| A 2＋B 2 [提醒] 在运用两平行直线间的距离公式时，易忽视两方程中的 x，y 的系数分别相等 这一条件，从而盲目套用公式导致出错． [逐点清] 4．(必修 2 第 110 页 B 组 2 题改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1， 则 a＝_. 解析：由题意得， |a－2＋3| 1 2＋(－1) 2 ＝1， ∴|a＋1|＝ 2，∵a>0，∴a＝ 2－1. 答案： 2－1 5．(易错题)已知直线 3x＋4y－3＝0 与直线 6x＋8y＋14＝0 平行，则它们之间的距离是 _． 解析：直线 6x＋8y＋14＝0 可化为 3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离 d＝ |－3－7| 3 2＋4 2 ＝ 2. 答案：2 [记结论·提速度] [记结论] 1．两个充要条件 (1)直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 垂直的充要条件是 A1A2＋ B1B2＝0； (2)直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行或重合的充要条件是 A1B2 －A2B1＝0. 2．直线系方程 (1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R 且 m≠C)； (2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋n＝0(n∈R)； (3)过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程为 A1x＋
Biy+Ci+(A2x+B2y+C2)=0(2ER)，但不包括h3.四类常用的对称关系(1)点(x，J)关于点(a，b)的对称点为(2a一x,2b-J);(2)点(x，J)关于直线x=a的对称点为(2a一x，J)，关于直线y=b的对称点为(r,2b一y);(3)点(x，J)关于直线y=x的对称点为(y，x)，关于直线=一x的对称点为(一y，一x);(4)点(x，y)关于直线x十y=k的对称点为(k一y，k一x)，关于直线xy=k的对称点为(k+y, x-k).[提速度]1.直线（2m一1)x十my十1=0和直线mx十3y十3=0垂直，则实数m的值为（OA. 1B. 0C. 2D.-1或0解析：选D由两直线垂直可得m(2m-1）+3m=0，解得m=0或-1.故选D2.与直线3x十4y十1=0平行且过点(1,2)的直线1的方程为解析：由题意，可设所求直线方程为3x+4y+c=0(c≠1)，又因为直线/过点(1,2)，所以3×1+4×2+c=0，解得c=-11因此，所求直线方程为3x+4y-11=0答案：3x+4y-11=03.点P(2,5)关于x+y=1的对称点的坐标为解析：点P(2,5)关于x+y=1的对称点的坐标为(1-5,1-2)即(-4，-1)。答案：（-4，—1)考点分类突破理解透规律明变化究其本课堂讲练考点两条直线的位置关系[师生共研过关][例1]（1设不同直线l2x-my-1=0，2:（m1)x—y十1=0，则“m=2”是“1//h”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知直线lh:2ax+(a+1)y+1=0，2:a+1)x+(a-1)w=0，若11，则a=(A. 2 或,域-1B. 23
B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括 l2. 3．四类常用的对称关系 (1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)； (2)点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b 的对称点为(x,2b－y)； (3)点(x，y)关于直线 y＝x 的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x 的对称点为(－y，－x)； (4)点(x，y)关于直线 x＋y＝k 的对称点为(k－y，k－x)，关于直线 x－y＝k 的对称点为 (k＋y，x－k)． [提速度] 1．直线(2m－1)x＋my＋1＝0 和直线 mx＋3y＋3＝0 垂直，则实数 m 的值为( ) A．1 B．0 C．2 D．－1 或 0 解析：选 D 由两直线垂直可得 m(2m－1)＋3m＝0，解得 m＝0 或－1.故选 D. 2．与直线 3x＋4y＋1＝0 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程为_． 解析：由题意，可设所求直线方程为 3x＋4y＋c＝0(c≠1)， 又因为直线 l 过点(1,2)， 所以 3×1＋4×2＋c＝0，解得 c＝－11. 因此，所求直线方程为 3x＋4y－11＝0. 答案：3x＋4y－11＝0 3．点 P(2,5)关于 x＋y＝1 的对称点的坐标为_． 解析：点 P(2,5)关于 x＋y＝1 的对称点的坐标为(1－5,1－2)即(－4，－1)． 答案：(－4，－1) 两条直线的位置关系 [师生共研过关] [例 1] (1)设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知直线 l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若 l1⊥l2，则 a＝( ) A．2 或 1 2 B． 1 3 或－1
1C.D. -13(3)经过两条直线2x+3y+1=0和x—3y+4=0的交点，并且垂直于直线3x+4y—7=0的直线方程为[解析】（1)当m=2时，易知两直线平行，即充分性成立32当h/h时，显然m±0，从而有m=m-1，解得m=2或m=-1，但当m=-1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故选C.(2)因为直线l1：2ax+(a+1)y+1=0，h：（a+1)x+(a-1)y=0，11，所以2a(a+1)+或a=—1.故选B(a十1)(a-1)=0，解得a=3[2x +3y +1=0,(3)法一：由方程组x-3y+4=0,X.解得即交点7=9因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直，所以所求直线的斜率为 k=37..475由点斜式得所求直线方程为-,=+即4x-3y+9=0法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0，[2x + 3y +1=0,55,)，代入4x-3y+m=0得m=9,可解得交点为(由方程组310(x -3y+4=0,故所求直线方程为4x-3y+9=0.法三：由题意可设所求直线的方程为(2x+3y+1)+(x-3y+4)=0，即(2+2)x+(3-32)y+1+42=0,又因为所求直线与直线3x+4y-7=0垂直
C． 1 3 D．－1 (3)经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交点，并且垂直于直线 3x＋4y－7＝ 0 的直线方程为_． [解析] (1)当 m＝2 时，易知两直线平行，即充分性成立． 当 l1∥l2 时，显然 m≠0，从而有2 m ＝m－1， 解得 m＝2 或 m＝－1，但当 m＝－1 时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立，故 选 C． (2)因为直线 l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，所以 2a(a＋1)＋ (a＋1)(a－1)＝0，解得 a＝ 1 3 或 a＝－1.故选 B. (3)法一：由方程组 2x＋3y＋1＝0， x－3y＋4＝0， 解得 x＝－ 5 3 ， y＝ 7 9 ， 即交点为 － 5 3 ， 7 9 ， 因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直， 所以所求直线的斜率为 k＝ 4 3 . 由点斜式得所求直线方程为 y－ 7 9 ＝ 4 3 x＋ 5 3 ， 即 4x－3y＋9＝0. 法二：由垂直关系可设所求直线方程为 4x－3y＋m＝0， 由方程组 2x＋3y＋1＝0， x－3y＋4＝0， 可解得交点为 － 5 3 ， 7 9 ，代入 4x－3y＋m＝0 得 m＝9， 故所求直线方程为 4x－3y＋9＝0. 法三：由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0， 即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，① 又因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直