y-0x-3=0上的点（-1,0)关于直线x=1对称的点为（3,0），由直线方程两点式得，即x+1-01-32y - 3 = 0.2.若点(a，b)关于直线y=2x的对称点在x轴上，则a，b满足的条件为(A.4a+3b=0B.3a+4b=0C.2a+3b=0D.3a+2b=0b-0×2=-1,a-t解解析：选A设点(a，b)关于直线y=2x的对称点为(t,0)，则有b+0a+t=2X22得4a+3b=0.3.已知入射光线经过点M(一3,4)，被直线l：x一y十3=0反射，反射光线经过点N(2.6)则反射光线所在直线的方程为解析：设点M(-3,4)关于直线I：x-y+3=0的对称点为M（a，b），则反射光线所在直线过点M"b-41=-1a-(- 3)所以-3+ab+4+3=0,22[a=1,解得b=0.即M(1,0)-又反射光线经过点N(26)，J-0x-1所以所求直线的方程为6-02-1R即6x-y-6=0.答案：6x-y-6=0[课时过关检测]A级--基础达标
＝0 上的点(－1,0)关于直线 x＝1 对称的点为(3,0)，由直线方程两点式得 y－0 1－0 ＝ x－3 1－3 ，即 x＋ 2y－3＝0. 2．若点(a，b)关于直线 y＝2x 的对称点在 x 轴上，则 a，b 满足的条件为( ) A．4a＋3b＝0 B．3a＋4b＝0 C．2a＋3b＝0 D．3a＋2b＝0 解析：选 A 设点(a，b)关于直线 y＝2x 的对称点为(t,0)，则有 b－0 a－t ×2＝－1， b＋0 2 ＝2× a＋t 2 ， 解 得 4a＋3b＝0. 3．已知入射光线经过点 M(－3,4)，被直线 l：x－y＋3＝0 反射，反射光线经过点 N(2,6)， 则反射光线所在直线的方程为_． 解析：设点 M(－3,4)关于直线 l：x－y＋3＝0 的对称点为 M′(a，b)，则反射光线所在 直线过点 M′， 所以 b－4 a－(－3) ·1＝－1， －3＋a 2 － b＋4 2 ＋3＝0， 解得 a＝1， b＝0. 即 M′(1,0)． 又反射光线经过点 N(2,6)， 所以所求直线的方程为 y－0 6－0 ＝ x－1 2－1 ， 即 6x－y－6＝0. 答案：6x－y－6＝0 [课时过关检测] A 级——基础达标
1.直线2x+y十m=0和x十2y十n=0的位置关系是（A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定1解析：选C直线2x+y+m=0的斜率ki=-2直线x+2y+n=0的斜率为kz=2.则ki≠kz，且kikz≠-1，所以两直线相交但不垂直。3元，直线I经过点A(3,2)和B(a，一1),2.(2021·山东淄博棋拟）已知直线1的倾斜角为4且直线/与li平行，则实数a的值为(）A. 0B. 1C. 6D.0或63元解析：选C由直线/的倾斜角为得1的斜率为-1，因为直线1与1平行，所以1的斜率为-1.又直线l经过点A(3,2)和B(a，-1)，3，故3=-1,解得a=6.所以1的斜率为3-a3-a3.点P在直线3x十v一5=0上，且点P到直线x一y一1=0的距离为V2，则点P的坐标为()A. (1,2)B. (2,1)C. (1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-1,2)Ix - 5 + 3x - 1|=V2，解得x=1或x=2，故P(1,2)解析：选C设P(x5-3x)，则d:V12 +( - 1)或(2,-1) .4.如果平面直角坐标系内的两点A(a一1，a+1)，B(a，a)关于直线1对称，那么直线I的方程为(）A. x-y+1=0B. x+y+1=0C. x-y-1=0D. x+y-1=0a+1-a解析：选A因为直线AB的斜率为-1，所以直线1的斜率为1.设直线1的a-1-(2a-1 2a+)2a+12a-1方程为y=x+b，由题意知直线1过点，所以+b，解得b=1，2222
1．直线 2x＋y＋m＝0 和 x＋2y＋n＝0 的位置关系是( ) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 解析：选 C 直线 2x＋y＋m＝0 的斜率 k1＝－2，直线 x＋2y＋n＝0 的斜率为 k2＝－ 1 2 ， 则 k1≠k2，且 k1k2≠－1，所以两直线相交但不垂直． 2．(2021·山东淄博模拟)已知直线 l 的倾斜角为3π 4 ，直线 l1 经过点 A(3,2)和 B(a，－1)， 且直线 l 与 l1 平行，则实数 a 的值为( ) A．0 B．1 C．6 D．0 或 6 解析：选 C 由直线 l 的倾斜角为3π 4 得 l 的斜率为－1， 因为直线 l 与 l1 平行，所以 l1 的斜率为－1. 又直线 l1 经过点 A(3,2)和 B(a，－1)， 所以 l1 的斜率为 3 3－a ，故 3 3－a ＝－1，解得 a＝6. 3．点 P 在直线 3x＋y－5＝0 上，且点 P 到直线 x－y－1＝0 的距离为 2，则点 P 的坐 标为( ) A．(1,2) B．(2,1) C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2) 解析：选 C 设 P(x,5－3x)，则 d＝ |x－5＋3x－1| 1 2＋(－1) 2 ＝ 2，解得 x＝1 或 x＝2，故 P(1,2) 或(2，－1)． 4．如果平面直角坐标系内的两点 A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线 l 对称，那么直线 l 的方程为( ) A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0 解析：选 A 因为直线 AB 的斜率为 a＋1－a a－1－a ＝－1，所以直线 l 的斜率为 1.设直线 l 的 方程为 y＝x＋b，由题意知直线 l 过点 2a－1 2 ， 2a＋1 2 ，所以 2a＋1 2 ＝ 2a－1 2 ＋b，解得 b＝1
所以直线/的方程为y=x+1，即x-y+1=0.故选A.5.（多选）已知三条直线l：2x—3y+1=0，l2：4x十3y+5=0，13：mx—y-1=0不能构成三角形，则m的值可以为（）A.B. -1.D.1c. -解析：选ABC当m=时，直线与1平行，故三条直线构不成三角形.当m=-.-1,-)时直线12与l平行故三条直线构不成三角形当m=时1交于同一点故三条直线也构不成三角形.当m=时，三条直线两两相交，且不过同一点，故三条直线能构成三角形：6.（多选）(2021·南京木高三棋拟)如图，平面中两条直线l和h相交M(p.q于点O，对于平面上任意一点M，若p，分别是M到直线l和的距离，则称有序非负实数对(p，Q)是点M的“距离坐标”，则下列四个选项中正确的是（）A.若p=q=0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个B.若pq=0，且p十q≠0，则“距离坐标”为(p，Q)的点有且仅有2个C.若pq≠0，则“距离坐标”为(p，Q)的点有且仅有4个D.若p=q，则点M在一条过点0的直线上解析：选ABC若p=q=0，则“距离坐标”为(0,0)的点是两条直线的交点0，因此有且仅有1个，故A正确；若pq=0，且p+≠0，则“距离坐标”为（0，9）或（p,0)的点有且仅有2个，故B正确：若pq≠0，则“距离坐标”为(P，Q)的点有且仅有4个，如图，故C正确；若p=q，则点M的轨迹是两条过O点的直线，分别为交角的平分线所在直线，故D不正确.故选AB、C.7.已知直线l:ax+y-1=0，直线h：x-y—3=0，若直线1的倾斜角为”，则a二，若12，则a=，若/2，则两平行直线间的距离为解析：若直线l的倾斜角为"，则-a=k=tan"=1，故a=-1；若lh，则ax1+1×（-1)=0，故a=1；若ll/2，则a=-1，l：x-y+1=0，两平行直线间的距离d=
所以直线 l 的方程为 y＝x＋1，即 x－y＋1＝0.故选 A． 5．(多选)已知三条直线 l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0 不能构 成三角形，则 m 的值可以为( ) A． 2 3 B．－ 4 3 C．－ 2 3 D． 4 3 解析：选 ABC 当 m＝ 2 3 时，直线 l1 与 l3 平行，故三条直线构不成三角形．当 m＝－ 4 3 时，直线l2 与l3 平行，故三条直线构不成三角形．当m＝－ 2 3 时，l1，l2，l3 交于同一点 － 1，－ 1 3 ， 故三条直线也构不成三角形．当 m＝ 4 3 时，三条直线两两相交，且不过同一点，故三条直线 能构成三角形． 6.(多选)(2021·南京市高三模拟)如图，平面中两条直线 l1 和 l2 相交 于点 O，对于平面上任意一点 M，若 p，q 分别是 M 到直线 l1和 l2的距 离，则称有序非负实数对(p，q)是点 M 的“距离坐标”．则下列四个选 项中正确的是( ) A．若 p＝q＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有 1 个 B．若 pq＝0，且 p＋q≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有 2 个 C．若 pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有 4 个 D．若 p＝q，则点 M 在一条过点 O 的直线上 解析：选 ABC 若 p＝q＝0，则“距离坐标”为(0,0)的点是两 条直线的交点 O，因此有且仅有 1 个，故 A 正确；若 pq＝0，且 p ＋q≠0，则“距离坐标”为(0，q)或(p,0)的点有且仅有 2 个，故 B 正 确；若 pq≠0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有 4 个，如图，故 C 正确；若 p＝q，则 点 M 的轨迹是两条过 O 点的直线，分别为交角的平分线所在直线，故 D 不正确．故选 A、 B、C． 7．已知直线 l1：ax＋y－1＝0，直线 l2：x－y－3＝0，若直线 l1 的倾斜角为π 4 ，则 a＝ _；若 l1⊥l2，则 a＝_；若 l1∥l2，则两平行直线间的距离为_． 解析：若直线 l1 的倾斜角为π 4 ，则－a＝k＝tan π 4 ＝1，故 a＝－1；若 l1⊥l2，则 a×1＋ 1×(－1)＝0，故 a＝1；若 l1∥l2，则 a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离 d＝
11-(-3) =22.V2答案：-112V28.已知点A(5,2a一1)，B(a十1，a一4)，若AB取得最小值，则实数a的值是解析: AB =(5 - a - 1) +(2a -1 - a+4)=~2e-2a+25=+所以当a=,时，AB|取得最小值答案:19.已知0<k<4，直线l：kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+ky—4k2-4=0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k的值为解析：直线l1，2恒过点P(2,4），直线l在y轴上的截距为4-k，直线l在x轴上的截距为2k2+2，因为0<k<4，所以4-k>0,2k2+2>0，所以四边形的面积S=×2X(4-k)1×4×(2k+2)=4k2-k+8，故当k=时，面积最小-2管案：10.已知点Pi(2,3)，P2(一4,5)和A(一1,2)，则过点A且与点Pi，P距离相等的直线方程为3-5解析：当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，由直线PiP2的斜率k=2 + 4，得所求直线的方程为y-2=x+1），即x+3y-5=0.当直线过线段PiP2的中点时，因363为线段PiP2的中点坐标为（-1,4)，所以直线方程为x=-1.综上所述，所求直线方程为x+3y-5=0或x=-1.答案：x+3y-5=0或x=—111.已知两直线l1：mx+8y+n=0和12:2x+my-1=0，试确定m，n的值，使(1)与 l2相交于点 P(m，一1);(2)h // 2;(3)li上l2，且l在y轴上的截距为一1
|1－(－3)| 2 ＝2 2. 答案：－1 1 2 2 8．已知点 A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小值，则实数 a 的值是_． 解析：|AB|＝ (5－a－1) 2＋(2a－1－a＋4) 2 ＝ 2a 2－2a＋25＝ 2 a－ 1 2 2＋ 49 2 ， 所以当 a＝ 1 2 时，|AB|取得最小值． 答案：1 2 9．已知 0＜k＜4，直线 l1：kx－2y－2k＋8＝0 和直线 l2：2x＋k 2 y－4k 2－4＝0 与坐标轴 围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的 k 的值为_． 解析：直线 l1，l2 恒过点 P(2,4)，直线 l1 在 y 轴上的截距为 4－k，直线 l2 在 x 轴上的截 距为 2k 2＋2，因为 0＜k＜4, 所以 4－k＞0,2k 2＋2＞0，所以四边形的面积 S＝ 1 2 ×2×(4－k) ＋ 1 2 ×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k＋8，故当 k＝ 1 8 时，面积最小． 答案：1 8 10．已知点 P1(2,3)，P2(－4,5)和 A(－1,2)，则过点 A 且与点 P1，P2 距离相等的直线方 程为_． 解析：当直线与点 P1，P2 的连线所在的直线平行时，由直线 P1P2 的斜率 k＝ 3－5 2＋4 ＝－ 1 3 ，得所求直线的方程为 y－2＝－ 1 3 (x＋1)，即 x＋3y－5＝0.当直线过线段 P1P2 的中点时，因 为线段 P1P2 的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为 x＝－1.综上所述，所求直线方程为 x＋ 3y－5＝0 或 x＝－1. 答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1 11．已知两直线 l1：mx＋8y＋n＝0 和 l2：2x＋my－1＝0，试确定 m，n 的值，使 (1)l1 与 l2 相交于点 P(m，－1)； (2)l1∥l2； (3)l1⊥l2，且 l1 在 y 轴上的截距为－1
[m2-8+n=0,解：(1)由题意得[2m-m-1=0,[m=1,解得(n=7.即m=1，n=7时，与l相交于点P(m，-1)[m2-16=0,(2):/// 12..-m-2n≠0,[m=4,[m=-4,解得或(nt-2Tn±2即m=4，n±-2或m=-4，n≠2时，h//l2(3)当且仅当2m+8m=0，即m=0时，1112n又-g--1,in=8.即m=0，n=8时，l工l2，且l在y轴上的截距为-112.正方形的中心为点C(一1,0)，一条边所在的直线方程是x十3y一5=0，求其他三边所在直线的方程。解：点C到直线x+3y-5=0的距离1-1 - 5] _ 3V10d=-5.V1+9设与x+3y-5=0平行的一边所在直线的方程是x+3y+m=0(m≠-5），则点C到直线x+3y+m=0的距离1-1+ml_33V10，解得 m=·5(舍去)或 m=7,V1+9所以与x+3y-5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0设与x+3y-5=0垂直的边所在直线的方程是3x-y+n=0则点C到直线3x-y+n=0的距离
解：(1)由题意得 m2－8＋n＝0， 2m－m－1＝0， 解得 m＝1， n＝7. 即 m＝1，n＝7 时，l1 与 l2 相交于点 P(m，－1)． (2)∵l1∥l2，∴ m2－16＝0， －m－2n≠0， 解得 m＝4， n≠－2 或 m＝－4， n≠2. 即 m＝4，n≠－2 或 m＝－4，n≠2 时，l1∥l2. (3)当且仅当 2m＋8m＝0， 即 m＝0 时，l1⊥l2. 又－n 8 ＝－1，∴n＝8. 即 m＝0，n＝8 时，l1⊥l2，且 l1 在 y 轴上的截距为－1. 12．正方形的中心为点 C(－1,0)，一条边所在的直线方程是 x＋3y－5＝0，求其他三边 所在直线的方程． 解：点 C 到直线 x＋3y－5＝0 的距离 d＝ |－1－5| 1＋9 ＝ 3 10 5 . 设与 x＋3y－5＝0 平行的一边所在直线的方程是 x＋3y＋m＝0(m≠－5)， 则点 C 到直线 x＋3y＋m＝0 的距离 d＝ |－1＋m| 1＋9 ＝ 3 10 5 ，解得 m＝－5(舍去)或 m＝7， 所以与 x＋3y－5＝0 平行的边所在直线的方程是 x＋3y＋7＝0. 设与 x＋3y－5＝0 垂直的边所在直线的方程是 3x－y＋n＝0， 则点 C 到直线 3x－y＋n＝0 的距离