3V3-3解析：选C设直线AB的倾斜角为a.A(1，V3)，B(-1，3V3)，.kAB-1-1-3，.tanα=-3，aE[0°,180°)，..α=120°故选C.2.在同一平面直角坐标系中，直线l：(x十y十b=0和直线lbx+y十a=0有可能是()BDCA解析：选B由题意l:y=-ax-b，h:y=-bx-a，当a>0，b>0时，-a<0，b<0.选项B符合.3.已知直线1的斜率为V3,在y轴上的截距为另一条直线x一2y一4=0的斜率的倒数，则直线/的方程为（）A.J=V3x+2B. y=V3x-2C. y=V3x+1D. J=-V3x+22解析：选A直线x-2y-4=0的斜率为，5，.直线/在y轴上的截距为2..直线/的方程为y=V3x+2.4.如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不通过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A<0,在解析：选C由题意知，A，B同号，所以直线Ax+By+C=0的斜率k=BC少轴上的截距为一>0，所以直线不通过第三象限。5.（多选）下列说法正确的是（)Cy=1表示A。截距相等的直线都可以用方程aaB.方程x十my一2=0(mER)能表示平行y轴的直线C.经过点P(1,1)，倾斜角为0的直线方程为y一1=tan0(x一1)D.经过两点 Pi(x1,Ji)，P2(x2，y2)的直线方程为(vz2—yl)-(x—x1)一(x2—x1)(y—yl)=0解析：选 BD对于A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程+=1表示，aa所以A不正确；对于B，当m=0时，平行于y轴的直线方程形式为x=2，所以B正确；
解析：选 C 设直线 AB 的倾斜角为 α.∵A(1， 3)，B(－1，3 3)，∴kAB＝ 3 3－ 3 －1－1 ＝ － 3，∴tan α＝－ 3，∵α∈[0°，180°)，∴α＝120°.故选 C． 2．在同一平面直角坐标系中，直线 l1：ax＋y＋b＝0 和直线 l2：bx＋y＋a＝0 有可能是 ( ) 解析：选 B 由题意 l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当 a＞0，b＞0 时，－a＜0，－ b＜0.选项 B 符合． 3．已知直线 l 的斜率为 3，在 y 轴上的截距为另一条直线 x－2y－4＝0 的斜率的倒数， 则直线 l 的方程为( ) A．y＝ 3x＋2 B．y＝ 3x－2 C．y＝ 3x＋ 1 2 D．y＝－ 3x＋2 解析：选 A 直线 x－2y－4＝0 的斜率为1 2 ，∴直线 l 在 y 轴上的截距为 2.∴直线 l 的方 程为 y＝ 3x＋2. 4．如果 AC＜0，且 BC＜0，那么直线 Ax＋By＋C＝0 不通过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选 C 由题意知，A，B 同号，所以直线 Ax＋By＋C＝0 的斜率 k＝－ A B ＜0，在 y 轴上的截距为－C B ＞0，所以直线不通过第三象限． 5．(多选)下列说法正确的是( ) A．截距相等的直线都可以用方程x a ＋ y a ＝1 表示 B．方程 x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行 y 轴的直线 C．经过点 P(1,1)，倾斜角为 θ 的直线方程为 y－1＝tan θ·(x－1) D．经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)·(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0 解析：选 BD 对于 A，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程x a ＋ y a ＝1 表示， 所以 A 不正确；对于 B，当 m＝0 时，平行于 y 轴的直线方程形式为 x＝2，所以 B 正确；
对于C，若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y-1=tan0(x-1)表示，所以C不正确；对于D，设点P(x，J)是经过两点Pi(xi，yl)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据PP2//PP可得(y2-y1)(x-xi)-(x2-xi)(-)=0，所以D正确.故选B、D6.（多选）若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线1方程可能为()A. X-y+1=0B.x+y-3=0C. 2x-y=0D. x-y-1=0k=2二~=2，所求的直线方程为 y=2x，解析：选ABC当直线经过原点时，斜率为k=1-0即2x-y=0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为xy=k，把点A(1,2)代入可得1-2=k或1+2=k，求得k=-1或k=3，故所求的直线方程为x-y+1=0或x+y-3=0综上知，所求的直线方程为2x-y=0或x-y+1=0或x+y-3=0.故选A、B、C.7.（2021·全一考试模拟演炼）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为解析：如图，设正方形的对角线的倾斜角为α，则tana=2，则正方形的两个边的候料角分别为α+。“号。Y所以tatan a+tan?2+11 - 21- tan".tano7= -3,tan a-tan2-1元1+231+ tan a-targ所以正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为-3，3答案：-3138.直线I过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4)；D(5,0)，则直线/的方程为解析：因为直线/平分平行四边形ABCD的面积，所以直线1过平行四边形对角线BD
对于 C，若直线的倾斜角为 90°，则该直线的斜率不存在，不能用 y－1＝tan θ(x－1)表示， 所以 C 不正确；对于 D，设点 P(x，y)是经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一 点，根据P1P2 ―→∥P1P ―→可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以 D 正确．故选 B、D. 6．(多选)若直线过点 A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线 l 方程可能为 ( ) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0 C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0 解析：选 ABC 当直线经过原点时，斜率为 k＝ 2－0 1－0 ＝2，所求的直线方程为 y＝2x， 即 2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为 x±y＝k，把点 A(1,2)代入可得 1－2 ＝k 或 1＋2＝k，求得 k＝－1 或 k＝3，故所求的直线方程为 x－y＋1＝0 或 x＋y－3＝0；综 上知，所求的直线方程为 2x－y＝0 或 x－y＋1＝0 或 x＋y－3＝0.故选 A、B、C． 7．(2021·全国统一考试模拟演练)若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2，则该正方 形的两条邻边所在直线的斜率分别为_，_. 解析：如图，设正方形的对角线的倾斜角为 α，则 tan α＝2， 则正方形的两个邻边的倾斜角分别为 α＋ π 4 ，α－ π 4 ， 所以 tan α＋ π 4 ＝ tan α＋tan π 4 1－tan π 4 ·tan α ＝ 2＋1 1－2 ＝－3， tan α－ π 4 ＝ tan α－tan π 4 1＋tan α·tan π 4 ＝ 2－1 1＋2 ＝ 1 3 ， 所以正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为－3， 1 3 . 答案：－3 1 3 8．直线 l 过原点且平分平行四边形 ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为 B(1,4)， D(5,0)，则直线 l 的方程为_． 解析：因为直线 l 平分平行四边形 ABCD 的面积，所以直线 l 过平行四边形对角线 BD
的中点(3,2），又直线1过原点，所以直线/的方程为y=答案：y=9.设点A(一1,0)，B(1,0)，直线2x+y-b=0与线段AB相交，则b的取值范围是解析：b为直线y=-2x+b在y轴上的截距，如图，当直线y=-2x+b过点A(-1，0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值所以b的取值范围是[-2，2].答案：[一2,2]10.若直线ax+by=ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为解析：：直线ax+by=ab(a>0，b>0)过点(1,1)，1.1.a+b=ab，即=1 ab.a+b=(a+bab.a=2 +?2+2Vab=4ab当且仅当a=b=2时上式等号成立直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.答案：411.已知直线1与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线1的方程：(1)过定点A(一3,4);(2)斜率为66解：（1)由题意知，直线1存在斜率.设直线/的方程为y=k(x+3)+4，它在x轴，y轴X(C+3)=6,解得=-或=-号-走-3,3k+4，由己知，得(3k+4)上的截距分别是-3故直线/的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0(2)设直线/在y轴上的截距为b，则直线/的方程为y=）x+b，它在x轴上的截距是-6b，由已知，得-6b·b|=6，.b=±1
的中点(3,2)，又直线 l 过原点，所以直线 l 的方程为 y＝ 2 3 x. 答案：y＝ 2 3 x 9．设点 A(－1,0)，B(1,0)，直线 2x＋y－b＝0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是 _． 解析：b 为直线 y＝－2x＋b 在 y 轴上的截距，如图，当直线 y＝－2x＋ b 过点 A(－1，0)和点 B(1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．所以 b 的取值 范围是[－2，2]． 答案：[－2,2] 10．若直线 ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在 x 轴，y 轴上的截距之和的最 小值为_． 解析：∵直线 ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)， ∴a＋b＝ab，即1 a ＋ 1 b ＝1， ∴a＋b＝(a＋b) 1 a ＋ 1 b ＝2＋ b a ＋ a b ≥2＋2 b a · a b ＝4， 当且仅当 a＝b＝2 时上式等号成立． ∴直线在 x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为 4. 答案：4 11．已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的 方程： (1)过定点 A(－3,4)； (2)斜率为1 6 . 解：(1)由题意知，直线 l 存在斜率．设直线 l 的方程为 y＝k(x＋3)＋4，它在 x 轴，y 轴 上的截距分别是－4 k －3,3k＋4，由已知，得(3k＋4) 4 k ＋3 ＝±6，解得 k1＝－ 2 3 或 k2＝－ 8 3 . 故直线 l 的方程为 2x＋3y－6＝0 或 8x＋3y＋12＝0. (2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，则直线 l 的方程为 y＝ 1 6 x＋b，它在 x 轴上的截距是－ 6b，由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1
.直线的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=012.已知直线l1(x-2y=2a—4，l2：2x+十ay=2a+4，当0<a<2时，直线l1，h与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值解：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2），直线l在y轴上的截距为2-a，直线l2在x×2×(2-a)+X2×(α+2)=a-a+4=轴上的截距为（+2，所以四边形的面积S：22(-)+，当a=时，四边形的面积最小，B级——综合应用13.（多选)已知直线xsinα+ycosα+1=0(αER)，则下列选项正确的是（）A，直线的倾斜角是元一αB.无论α如何变化，直线不过原点C.无论α如何变化，直线总和一个定圆相切D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1解析：选BCD根据直线倾斜角的范围为[0，元），而元-αER，所以A不正确；当x=y=0时，xsinα+ycosa+1=1≠0，所以直线必不过原点，B正确；由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1，所以直线总和单位圆相切，C正确当直线和两坐标轴都相交时，11它和坐标轴围成的三角形的面积为S=-cos a|=sin 2a≥1,所以 D正确.故2-sina选B、C、D14.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线。已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC=BC，则△ABC的欧拉线方程为解析：由题意，线段AB的中点为M(1,2)，kAB=-2，所以线段AB的垂直平分线为-2=2(x- 1),即x-2y+3=0,因为AC=BC，所以^ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此^ABC的欧拉线方程为x-2y+3=0.答案：x—2y+3=0y+3*+的最值15.已知实数x，y满足y=x-2x十2(-1≤≤1)，求
∴直线 l 的方程为 x－6y＋6＝0 或 x－6y－6＝0. 12．已知直线 l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a 2 y＝2a 2＋4，当 0<a<2 时，直线 l1，l2与两 坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值． 解：由题意知直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1 在 y 轴上的截距为 2－a，直线 l2在 x 轴上的截距为 a 2＋2，所以四边形的面积 S＝ 1 2 ×2×(2－a)＋ 1 2 ×2×(a 2＋2)＝a 2－a＋4＝ a－ 1 2 2＋ 15 4 ，当 a＝ 1 2 时，四边形的面积最小． B 级——综合应用 13．(多选)已知直线 xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列选项正确的是( ) A．直线的倾斜角是 π－α B．无论 α 如何变化，直线不过原点 C．无论 α 如何变化，直线总和一个定圆相切 D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于 1 解析：选 BCD 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而 π－α∈R，所以 A 不正确；当 x＝ y＝0 时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 正确；由点到直线的距离公式 得原点到直线的距离为 1，所以直线总和单位圆相切，C 正确；当直线和两坐标轴都相交时， 它和坐标轴围成的三角形的面积为 S＝ 1 2 1 －sin α · 1 －cos α ＝ 1 |sin 2α| ≥1，所以 D 正确．故 选 B、C、D. 14．数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已 知△ABC 的顶点 A(2,0)，B(0,4)，AC＝BC，则△ABC 的欧拉线方程为_． 解析：由题意，线段 AB 的中点为 M(1,2)，kAB＝－2，所以线段 AB 的垂直平分线为 y －2＝ 1 2 (x－1)，即 x－2y＋3＝0， 因为 AC＝BC，所以△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段 AB 的垂直平分线上， 因此△ABC 的欧拉线方程为 x－2y＋3＝0. 答案：x－2y＋3＝0 15．已知实数 x，y 满足 y＝x 2－2x＋2(－1≤x≤1)，求y＋3 x＋2 的最值．
7+3解：如图，作出y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的图象（曲线段AB），则x +2表示定点P(-2，-3)和曲线段AB上任一点(x，J)的连线的斜率k，连接-31-(-3) 4pPA,PB，则kpA≤k≤kpB.易得A(1,1),B(-1,5),所以kpA=1-(-2)35 - (- 3)>=8，所以≤k≤8kpB=- 1 - (- 2)3y+3，的最大值是8，最小值是故x+2C级——迁移创新16.已知曲线T：F(x，J)=0，对坐标平面上任意一点P(x，J)，定义F[P)=F(x，J),若两点P，Q满足F[P]·F[Q)>0，称点P，Q在曲线T同侧：F[P]·F[Q]<0，称点P，Q在曲线T两侧(1)直线过I原点，线段AB上所有点都在直线/同侧，其中A(一1,1)，B(2,3)，求直线I的斜率的取值范围；(2)已知曲线F(x，J)=(3x+4y5)V4-x2-y=0，0为坐标原点，求点集S=(P|F[P]·F[O]>0的面积解：(1)由题意，显然直线/斜率存在，设方程为y=kx，则F(x，J)=kx-y=0，因为A(-1,1），B(2,3），线段AB上所有点都在直线/同侧，则 F[A]·F[B) =(- k - 1)(2k - 3)>0 ,3解得-1<k<2(2)因为 F[0]<0 , 所以 F[P)=(3x +4y - 5)4 - x2 - y2<0[3x + 4y - 5<0 ,故点集S为圆x2+y=4在直线3x+4y-5=0下方[x2 + y2<4 内部，如图所示，设直线与圆的交点为A，B，则0到AB的距离为1，故LA0B=2132+2--+V14元因此，所求面积为S：222 3223
解：如图，作出 y＝x 2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段 AB)，则 y＋3 x＋2 表示定点 P(－2，－3)和曲线段 AB 上任一点(x，y)的连线的斜率 k，连接 PA，PB，则 kPA≤k≤kPB.易得 A(1,1)，B(－1，5)，所以 kPA＝ 1－(－3) 1－(－2) ＝ 4 3 ， kPB＝ 5－(－3) －1－(－2) ＝8，所以4 3 ≤k≤8， 故 y＋3 x＋2 的最大值是 8，最小值是4 3 . C 级——迁移创新 16．已知曲线 T：F(x，y)＝0，对坐标平面上任意一点 P(x，y)，定义 F[P]＝F(x，y)， 若两点 P，Q 满足 F[P]·F[Q]>0，称点 P，Q 在曲线 T 同侧；F[P]·F[Q]<0，称点 P，Q 在曲 线 T 两侧． (1)直线过 l 原点，线段 AB 上所有点都在直线 l 同侧，其中 A(－1,1)，B(2,3)，求直线 l 的斜率的取值范围； (2)已知曲线 F(x，y)＝(3x＋4y－5) 4－x 2－y 2＝0，O 为坐标原点，求点集 S＝ {P|F[P]·F[O]>0}的面积． 解：(1)由题意，显然直线 l 斜率存在，设方程为 y＝kx，则 F(x，y)＝kx－y＝0， 因为 A(－1,1)，B(2,3)，线段 AB 上所有点都在直线 l 同侧， 则 F[A]·F[B]＝(－k－1)(2k－3)>0， 解得－1<k< 3 2 . (2)因为 F[O]<0，所以 F[P]＝(3x＋4y－5)· 4－x 2－y 2<0， 故 3x＋4y－5<0， x 2＋y 2<4， 点集 S 为圆 x 2＋y 2＝4 在直线 3x＋4y－5＝0 下方 内部，如图所示， 设直线与圆的交点为 A，B，则 O 到 AB 的距离为 1， 故∠AOB＝ 2π 3 ， 因此，所求面积为 S＝ 1 2 · 4π 3 ·22＋ 1 2 · 3 2 ·22＝ 8π 3 ＋ 3