即(3k-1)(k-V3)≤0 ,解得;≤k≤V3.即直线／的斜率的取值范围是，V]V3答案[解题技法]1.求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k=tanα的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围，2.斜率的求法(1)定义法若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k=tanα求斜率；2-yI(2)公式法：若已知直线上两点A4(x1,Ji)，B(x2J2)，一般根据斜率公式k=(x1±x2)X2 - X1求斜率.[跟踪训练]1.若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为5-3a-3解析：因为kAc==a-3.由于A，B，C三点共线，所以a-3=1，1,kAB6-45-4即a=4.答案：42. 若直线 / 的斜率为 k，倾斜角为 a, 且 αe[,)u[，元), 则 k 的取值范围是解析： 当ae[,)时, k=tan e[, ];当ae[号n)]时, = anae[-V5, 0] 综上得ke[-V,[,1]答案： [-V5, 0[号,)考点直线的方程
即(3k－1)(k－ 3)≤0，解得1 3 ≤k≤ 3. 即直线 l 的斜率的取值范围是 1 3 ， 3 . 答案： 1 3 ， 3 [解题技法] 1．求倾斜角的取值范围的一般步骤 (1)求出斜率 k＝tan α 的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角 α 的取值范围． 2．斜率的求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角 α 或 α 的某种三角函数值，一般根据 k＝tan α 求斜率； (2)公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式 k＝ y2－y1 x2－x1 (x1≠x2) 求斜率． [跟踪训练] 1．若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则 a 的值为_． 解析：因为 kAC＝ 5－3 6－4 ＝1，kAB＝ a－3 5－4 ＝a－3.由于 A，B，C 三点共线，所以 a－3＝1， 即 a＝4. 答案：4 2．若直线 l 的斜率为 k，倾斜角为 α，且 α∈ π 6 ， π 4 ∪ 2π 3 ，π ，则 k 的取值范围是 _． 解析：当 α∈ π 6 ， π 4 时，k＝tan α∈ 3 3 ，1 ； 当 α∈ 2π 3 ，π 时，k＝tan α∈[－ 3，0)． 综上得 k∈[－ 3，0)∪ 3 3 ，1 . 答案：[－ 3，0)∪ 3 3 ，1 直线的方程
[师生共研过关][例2](1)若直线经过点A(一5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为4(2)在△ABC中，已知A(5，一2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为[解析】(1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y=kx，将(-5,2)代入22y=kx中，得k=号，此时，直线方程为y=，学,即2x+ 5y=0.②当横截距、纵截距都不为零时汽设所求直线方程为元+=1，2aaH将(-5,2)代入所设方程，解得a=，，此时，直线方程为x+2v+1=02综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0(5+xo Jo -+xoyo+3(2)设 C(xo , Jo),则 M2.5 +Xo因为点M在y轴上，所以一2=0，所以x0=-5Jo +3因为点N在x轴上，所以一2=0所以yo=-3,即 (-5，-3),所以MN(1,0)y1"1,所以直线MN的方程为，2即5x-2y-5=0[答案】（1)x十2y+1=0或2x+5y=0(2)5x—2y—5=0[解题技法]1.求解直线方程的2种方法直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程
[师生共研过关] [例 2] (1)若直线经过点 A(－5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍，则 该直线的方程为_； (2)在△ABC 中，已知 A(5，－2)，B(7,3)，且 AC 的中点 M 在 y 轴上，BC 的中点 N 在 x 轴上，则直线 MN 的方程为_． [解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为 y＝kx，将(－5,2)代入 y＝kx 中，得 k＝－ 2 5 ，此时，直线方程为 y＝－ 2 5 x，即 2x＋5y＝0. ②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为 x 2a ＋ y a ＝1， 将(－5,2)代入所设方程，解得 a＝－ 1 2 ，此时，直线方程为 x＋2y＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为 x＋2y＋1＝0 或 2x＋5y＝0. (2)设 C(x0，y0)，则 M 5＋x0 2 ， y0－2 2 ，N 7＋x0 2 ， y0＋3 2 . 因为点 M 在 y 轴上，所以 5＋x0 2 ＝0，所以 x0＝－5. 因为点 N 在 x 轴上，所以 y0＋3 2 ＝0， 所以 y0＝－3，即 C(－5，－3)， 所以 M 0，－ 5 2 ，N(1,0)， 所以直线 MN 的方程为x 1 ＋ y － 5 2 ＝1， 即 5x－2y－5＝0. [答案] (1)x＋2y＋1＝0 或 2x＋5y＝0 (2)5x－2y－5＝0 [解题技法] 1．求解直线方程的 2 种方法 直接法 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程
①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程（组）；待定系数法③解这个方程(组)求出参数；③把参数的值代入所设直线方程2.谨防3种失误（1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在；(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0；(3)应用一般式Ax+By+C=0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.[跟踪训练]1.已知A(一1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△4BC的边BC上的高所在的直线方程为(A.x+y=0B.x-y+2=0C.x+y+2=0D. x-y=03-1解析：选B 因为 B(3,1),C(1,3),所以kec=1-3==-1，故BC边上的高所在直线的斜率k=1，又高线经过点A，所以其所在的直线方程为x-y+2=0V102. 直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为的直线方程为io解析：由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sinα=10 (αE[0 , n) ,从而 cos3V10α=±，则k=tana=±故所求直线的方程为y=+(x+4)，即x+3y+4=010答案：x±3y十4=03.经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为解析：由题意可知，所求直线的斜率为+1.又过点(3,4)，由点斜式得y-4=±(x-3).所求直线的方程为x=y+1=0或x+y-7=0答案：x-y+1=0或x+y-7=0考点直线方程的综合应用[师生共研过关][例3]已知直线I过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两
待定系数法 ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程 2．谨防 3 种失误 (1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在； (2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为 0； (3)应用一般式 Ax＋By＋C＝0 确定直线的斜率时注意讨论 B 是否为 0. [跟踪训练] 1．已知 A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC 的边 BC 上的高所在的直线方程为( ) A．x＋y＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x－y＝0 解析：选 B 因为 B(3,1)，C(1,3)，所以 kBC＝ 3－1 1－3 ＝－1，故 BC 边上的高所在直线的 斜率 k＝1，又高线经过点 A，所以其所在的直线方程为 x－y＋2＝0. 2．直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 10 10 的直线方程为_． 解析：由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为 α，则 sin α＝ 10 10 (α∈[0，π))，从而 cos α＝± 3 10 10 ，则 k＝tan α＝± 1 3 .故所求直线的方程为 y＝± 1 3 (x＋4)，即 x±3y＋4＝0. 答案：x±3y＋4＝0 3．经过点 B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为_． 解析：由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得 y－4＝±(x－3)． 所求直线的方程为 x－y＋1＝0 或 x＋y－7＝0. 答案：x－y＋1＝0 或 x＋y－7＝0 直线方程的综合应用 [师生共研过关] [例 3] 已知直线 l 过点 M(2,1)，且分别与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于 A，B 两
点，0为原点，当△AOB面积最小时，求直线1的方程，[解】法一：设直线/的方程为y-1=k(x-2)，2k-1则可得A, o), B(0,1 - 2k) .K：与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，[2k - 1->0.k→k<0.(1-2k>0-10101(1-20 ((4-1-4k)≥4+2 /()(-4h)|=于是 SaAOB=1当且仅当-4k，即k=时，AAOB面积有最小值为4，此时，直线/的方程为yk=1=-(x-2)，即x+2y-4=0.xy21法二：设所求直线/的方程为为+=1(a>0,b>0)，则a*6=121又:2412.1.1ab≥4，当且仅当当-1-2,即a=4,b=2时，440B面积S=bat=21Vab-2有最小值为4.V此时，直线1的方程是=1[对点变式](变设问)本例条件不变，当MA}·MB取得最小值时，求直线/的方程。2k-1解：由例3知, 0 ), B(0,1 - 2k)(k<0)k+1-4+42:MA}-{MB|=1+k=2[K]当且仅当-k=，即k=-1时取等号.全.此时直线/的方程为x+y-3=0
点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线 l 的方程． [解] 法一：设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－2)， 则可得 A 2k－1 k ，0 ，B(0,1－2k)． ∵与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 A，B 两点， ∴ 2k－1 k ＞0， 1－2k＞0 ⇒k＜0. 于是 S△AOB＝ 1 2 ·|OA|·|OB|＝ 1 2 · 2k－1 k ·(1－2k)＝ 1 2 4－ 1 k －4k ≥ 1 2 4＋2 － 1 k ·(－4k) ＝4. 当且仅当－1 k ＝－4k，即 k＝－ 1 2 时，△AOB 面积有最小值为 4，此时，直线 l 的方程为 y －1＝－ 1 2 (x－2)，即 x＋2y－4＝0. 法二：设所求直线 l 的方程为x a ＋ y b ＝1(a＞0，b＞0)，则2 a ＋ 1 b ＝1. 又∵ 2 a ＋ 1 b ≥2 2 ab⇒ 1 2 ab≥4，当且仅当2 a ＝ 1 b ＝ 1 2 ，即 a＝4，b＝2 时，△AOB 面积 S＝ 1 2 ab 有最小值为 4. 此时，直线 l 的方程是x 4 ＋ y 2 ＝1. [对点变式] (变设问)本例条件不变，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线 l 的方程． 解：由例 3 知 A 2k－1 k ，0 ，B(0,1－2k)(k＜0)． ∴|MA|·|MB|＝ 1 k 2＋1· 4＋4k 2 ＝2 1＋k 2 |k| ＝2 (－k)＋ 1 (－k) ≥4. 当且仅当－k＝－ 1 k ，即 k＝－1 时取等号． 此时直线 l 的方程为 x＋y－3＝0
[解题技法]与直线方程有关问题的3大类型及解题策略（1）求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值；2）求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程；(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解[跟踪训练]1.当k>0时，两直线kx-y=0,2x十ky一2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为[kx-y=0,2k解析：直线2x+ky-2=0与x轴交于点(1,0）.由解得y:,所k2 +22x+ky-2=0,2k1以两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形的面积为X1X，又k+2K+2k+V2=2V2(当且仅当k=V2时取等号），故三角形面积的最大值为222V2答案：42.已知直线x十2y=2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为解析：由题得A(2.0)，B0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上.可知0≤b≤1，且a+2F=2 , 从而 a=2 - 2b ,故 ab=(2 - 2b)b= - 2b2 + 2b= - 2(b -)+1由于0≤b≤1,故当b=时，ab取得最大值管案:[课时过关检测]A级——基础达标1.已知点A(1，V3)，B(一1,3V3)，则直线AB的倾斜角是(A.60°B. 30°C. 120°D.150°
[解题技法] 与直线方程有关问题的 3 大类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等 式求解最值； (2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程； (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质 或基本不等式求解． [跟踪训练] 1．当 k＞0 时，两直线 kx－y＝0,2x＋ky－2＝0 与 x 轴围成的三角形面积的最大值为 _． 解析：直线 2x＋ky－2＝0 与 x 轴交于点(1,0)．由 kx－y＝0， 2x＋ky－2＝0， 解得 y＝ 2k k 2＋2 ，所 以两直线 kx－y＝0,2x＋ky－2＝0 与 x 轴围成的三角形的面积为1 2 ×1× 2k k 2＋2 ＝ 1 k＋ 2 k ，又 k＋ 2 k ≥2 k· 2 k ＝2 2(当且仅当 k＝ 2时取等号)，故三角形面积的最大值为 2 4 . 答案： 2 4 2．已知直线 x＋2y＝2 分别与 x 轴、y 轴相交于 A，B 两点，若动点 P(a，b)在线段 AB 上，则 ab 的最大值为_． 解析：由题得 A(2,0)，B(0,1)，由动点 P(a，b)在线段 AB 上．可知 0≤b≤1，且 a＋2b ＝2，从而 a＝2－2b，故 ab＝(2－2b)b＝－2b 2＋2b＝－2 b－ 1 2 2＋ 1 2 . 由于 0≤b≤1，故当 b＝ 1 2 时，ab 取得最大值1 2 . 答案：1 2 [课时过关检测] A 级——基础达标 1．已知点 A(1， 3)，B(－1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是( ) A．60° B．30° C．120° D．150°