阵入。我们!将*,【延仲以至无穷运、在外得到一个无界区 域,在无界区域上也有一个转移矩阵(见§6),为区别起见,我 们将它记作Ⅹ。然后,求解如下的一系列代数方程组 (K-AX-ATX)E=pm, m=I, 2,. (8.2) 当π改变时方程组(8.2)的系数矩阵是不变的,因此求解(8.2)的 工作量并不大。令 k k 关于m叠加 k=0,l, zk的插值函教就是2 当考虑 Neumann边界条件,=0时,我们令 然后求解如下的-系列代数方程组(m=1,2,…) (K“AX)zm:…Azm:pm-1, (8.3) 、-4xm1+(五-AX)zm Pm-I, 共中 P'n= P 方程组(8.3)的系数矩阵是的。我们可以令z霖的最后一个 分量等于零,同討:去系数阵饪应的行与列。经过这样处理 以后,方鞋组(.就丌以求穿。令 XE,Mike 1=又2,当k提-1 关于n叠加并插值就得2 我们将在下证明上述算法的合理性。 21
总之,我们已经找到了一个在Ω上满足方程与局部边界条件 的帱解口。令1=1+,则在C内满足齐次方程与齐次边界条 件,可以用§7中的方法求t,在Ω之外用常规的有限元方法求 n,在r上u与υ需满足一定的条件,这些条件使得t与t得以 联立求解。我们来推导这些条件 如图11,设b为F的一个节点, 它周国然节点为b2,b3,…,bm+1,周 围的三角形单元为 其中 在Ω内,4m1+1,…,Cm在Ω 外。函数#:在点等于1,在共余节 点上均等于零,在每个单兀上是线性 数,在'庶雨以建立方科 (b1)=Hl(1)+t(h1), 8.4) d rdy+ VtVυdxd V:·udxe p, pdxdy (8.5) 其中V,=(的x,)余类推.(5试式左端的第二个积分与 第个积分都可以通过刚度年与节点上的值表示。 将方程(8,4),(8.5),Ω之外約常规有限元方程,以及方程 联立,就可以求斛。 §9平面弹性问题 考痣平面应变问题,这时方程组是 y 22
ata au +2A λ+240 ay 0 0 其中x,σy,rxy是应力,t,D是位移,λ,“是Lame常数,平面 应力问题有相同的方程,只需将常数λ,A作一调整。如果在边界 上给定位移,边界条件是 9.1) 如果在边界上给定分布的表面力,边界条件是 0x cos(v,x)+try cos(v, y)=fxx (9.2) (,x)+ 也有时在同一边上既给一个位移边界条件,又给一个表面力条件 在区域Ω上的应变能是 ∫。{(+2)()+()+2 au aU ax ay au dv ay at 有时问题具有某种对称性,例如图12,此时弹性体关于x轴 对称,表面力关于x轴成镜面反射。除去了物体作刚体运动的因 素以后,它的位移关于x轴也是成镜面反射的,为了节省计算量, 可以只计算区城在上半乎面{>0}上的一半。利用对称性,在x 轴上有如下的滑动边界条件: 10 它属于上述位移表面力混合边界条件。 23
图12 求解上述问题的无限元方法与§:-§8中的方法是类似的。 我们先讨论角点问题(图9)。设在O点附近的边界糸件是自由边 界条件即边界条件(9,2),其中!,=fu=0, 按照图10作剖分以后、设!k上节点共有n个,铵逆时针方 向排列,各节点上的位移依次是n',41),,砂2),“,山 它∫组成了一个2n维向量y这时可以按(9.3)计算一层的刚度 矩阵,将应变能表示为 (y.,,yT) Ko -A A K )( 其中K0,K,A都是2n阶方炸,它们与层次k无关。 令K=K+K,则公式(1.6)一(1.14都适用,只是转移矩 阵X的性质略有不同。在X的特征值中,有两个等于1,分别对 应了特征向量 91=(I,0,1,0,…,1,0)T 92=(0,I,0,I 它们就是沿着x方向的平移与沿着ν方向的平移。其余特征值均 24
满足|A|<1 关于迭代法,(3.3)-(3.5)在此处仍适用。为计算近似的组 合刚度矩阵K42),设当k≥2时,Uh=C;91+c292,其中c1,c2是 两个待定常数。于是应变能等于 W:+( AL K 令 (,c2) E A Kz(J/1,只2) 9.4) 就得到(7.1),(7.2)式 还可以计一种快的格式。象§7一样地取=,22∈R 作两个向丘 ! 12,…,a11)T∈R 212=(z2,22,…,z2)T∈R2 它们满足(=1,2,,n) = 2 0, 对于向量2,用同样的方式形成ε,z∈R23。取得定常数 c;(i=I,…,6),使当k≥21时 y女=(191C29 12 实际上,我们假定当k≥2时,位移t,都是线性函数。再假 定当k=1,2,…,21,方程(1.6);都成立。由(9.3),在口上 的应变能就是 A Fv=0(y,y) K )(0) +52S((+2a)(3+c3)+2A3+μ(4+c)3}, 其中,象§7一样,S是区域Ω的面积。令日=(e1,…,c), E= GTA 9.5)