00 0 000 0 0Q元+2400 F=GK G+5 00 0 00 0 00 00无+24 其中 G=(g 就得到了(7.1),(7.2)式 公式(3.I1)同样适用于现在的情形。需要注意的是校正的步 骤。现在Kx是对称、半正定矩阵,并且9192都是它的零特征 向量。可以作如下校正:以和,记矩阵K·1的元素,对于1 ≤2n,令 ∑k; 然后用(k;+k)代替;与k(1≤,1≤2n) 上述讨论可以推广到外问题以及如§6那样的无界区域上:的 自由边界条件问题。公式(1.6)一(1.14)现在仍适用。对于迭代 法,公式(3.3-(3.5)乃至公式(9.4),(7.2)等都仍然适用。但是, 公式〔9.5)已不适用,公式(3.11)也不适用 对于角点问题,如果在O点附近的边界条件是固定边界条件 u=v=0,我们指出它与自由边界条件的不同点。由于在边界上 去掉了四个自由度,K。,K。,A都是2n-4阶方阵,转移矩阵 X的所有料征值λ均满足|λ|<1。对于迭代法,(3.3)-(3.5) 在此处仍适用。还可以证明 lim Ki=K 这时不能计算Kx),也不必计算它。公式(3.11)也同样适用于现 在的情形。但是现在K;是对称正定矩阵,在校正的步骤中,只
要用(死;;+k,)代替k;与,;就可以了。 边界条件是多种多样的,在两侧还可以给不同的边界条件 这样,边界条件的组合种类十分繁多。在毎种边界条件下,矩阵 X,Kx的性质不同,迭代的算法也不同、为了统一地处理上述 边界条件,伐们引进“允许平移”的概念。 在局部边界条件限制下,弹 性体可能发生的平移称为允许平 B 移。例如,对于一个角点,省两 侧都给自由边界条件,则允许平 移是v=61,U≡e2,其中c,C2是 任怠常数:若两侧都给固定边界 条件,则允许平移是以==0 又如图13,在OA线段上给自 由边界条件,线段OB的傾斜角 为0,在其上给滑动边界条件: usinθ+ t cos e=0, (cy-ox)sin 0 cos 0+try(cos20-sin20)=0, 允许平移是 =C Cos 0 是任意常数。 我们将在下章证明:若允许平移有两个自由度,则转移矩阵 X有两个特征值λ=1,特征向量为⑨1与q2,其余特征值λ均满足 !A<1若允许平移有一个自由度,则只有一个特征值A=1, 对应的特征向量按允许平移而定,例如在图13的例子中,特征 向量就是g1csθ+9sin,这些对应于X的特征向量,同时也 是组合刚度矩阵K,的零特征向量。 我们还将在下章证明:对于迭代法(3.3)一(3.5),当转移矩 阵ⅹ的所有特征值均满足|λ<1时,则有 27
limK,÷K 如果矩阵Y有特征值λ=1,则极限关系式(9,6)就不成立,必须 通过§3中的办法计算K4,这时当≥24时,V+等于矩阵X对 应于λ=1的特征向量。对于角点问题,为了提高收敛速度,我们 还可以在此区域内增加一些线性函数作为附加的自由度,其条件 是这些线性函效必须满足两侧的位移边界条件(如果有位移边界 条件的话) 下面、对于平面弹性问题的无限元方法,我们用表格形式作 总结。表]是允许平移的自由度与转移矩阵X,组合刚度矩阵 的性质之间的关系 表 自由建 X的特征值λ=1的重数 对称、芊正 对称、半正定 对称、正定 表2 1自山度;特征值方兰 第一类造代法 第二类选代法 无界域 外问题 注:限于边界杂件n=0 表2是关于各种方法的适用性,我们将§1中叙述的方法称
为特征住方法,§3中(3.3)-(3.5)称为第一米迭代法,(3.11) 称为第二类选代法。第一类迭代法又分三种,第一种有极限式 (9.6),第二种是引进了允许平移后,有极限式(3.8),第三种 是还可以再引进一些线性函数,使收敛得更快一些,我们考虑 种边值问题,第一种是角点问题,第二种是§6中讨论的无界区 城问题,我们称之为无界区域问题,第三种是§1中讨论的外问 题。我们以“十”号表示某一个方法适用于此种情况,以“-” 号表示不适用 最后,我们讨论外向題的 fourier方法,如图4作剖分以后, 采用极坐标,在每一点以,,4分 別表示径向位移与沿圆周逆时针 方向的位移,以f+,∫分别表示上 述两个方向的等效节点力(图14)。 按照这些变量,我们计算-层的 削度矩阵,设在圆周上有n个节 点,它们按辐角θ=0 23 图14 2(1-1)均匀分布,则有 7 K 2 (yy 其中K。,和,A都是2n阶矩伡,为fk上“,u组成的2n维 向量 在下章我们将证明K,,Aa,A都是块循坏矩阵,郾它们都是 如下形状 b 29
其中b;(=1,…,n是2×2的子矩阵。作酉矩阵 其中【是二阶单位阵,则类似于§2可以得块对角矩阵 FBF=dg(∑∑b,…,∑ 1t-1)(m-Ib 令=F2+,以F左乘(1.6)的诸方程,就得到了(2.1)。所不 同的是,现在P。,P,Q都是块对角阵 Po=diag(P01,…,P63), P=diag(Pt Q=diag(Q 其中P0),P(自,QH都是二阶子矩阵。令 Ffo 其中z,p4是二维列向量.将(2.I)写成n个无穷阶方程组 (=1 P)20)-r()=g(), -Qz)+(t)z1)-)x4)=0, 9.7) frT→(言」 ,=0 存在二阶矩阵ⅹ(t=t,2,…,m),使 21=X()zx),k=0,1 3