voKzyo= min(yi, wT) K AT Ki 于是 =(2r2+K1)-A2y Kx=Kt-AT(52Kx+K)-AL. 类似于迭代格式(3.11),我们有 K K:- AT(S2Kim)+K1)AL s6其他无界区域上的问题 例如考虑如下问题:求解的 平面区域由两个子区域组成,其 中Ω1是一个有界区域,另一个 区城是下半平面{y<0}〔图8) 为确定起见,首先设x轴上的那 部分边界的边界条件是n=0,在 边界的其余部分也给了边界条 件,求解 Laplace方程 在{3<0}内作一折线ra, 始于负x轴,终于正x轴。F0将 ⅴ<0}分解为两个子区城,其中有界的区域为Ω2,无界的为Ω (图8)。在Ω上作相似的无限剖分以后,§1,§3中的方法可以 完全不变地用于现在的情形,从而可以得到Ω上的组合刚度紆阵 x*设F上的节点共n个,则Kx是n阶矩阵 其次,如果在x轴上的那部分边界的边界条件是v=0,则除 去x轴上的节点后,Ka,K,A都是n-2阶矩阵,从面Kz也是 个n-2阶矩阵。此外,转移矩阵X的特征值λ均满足|λ<1 16
也可以利用递推关系(.3)一(3.5)求Kt,K,At,还可以证明 limK,=K 证明也将在下章给出。迭代式(3.11)仍然成立,但是此处K)是 对称正定矩阵 §7角点问题 设所考虑的区域(有界或无界)的边界上有一角点O(图9) 当内角a>π,则一般而言解在O点有奇性,或者虽然a≤π,但 是在O点的条邻边上给了不同类型的边界条件,一般而言解在 O点也有奇性。这里,“奇性”一词指的是当点趋于O点时,解 的微商会无限地变六,用常规的有限元方法不但不能计算这个奇 性,而冄会使误羔传潛到整个区域。为了提高计箅的精确度,可 以采用元限元方法 为确定起见,丫先设在O点附近的边界条件是》=0.围绕 O点作近线I,它始于O点的一邻边r*,终于O点的另一邻边 r
F*如图9,以Ω表示,与所闱的区域,取常数ξ,0< 1,以O点为相似中心,以ξ,52,…,5,…为比例常数,作折线 F 然后仿照§1中的方法,就可以作出相似的无 限剖分如图10, §1与§3中的讨论可以不加改变地用于现不的情形,其中 (3.7)式还可以用一个更快的格式代替 以O为坐标原点,引进两个新的n维向量 名,=(z),z121,…,zi),z2=(231),22),…,z)T, 使它们的各分量依次是r上各节点的x坐标与y坐标。在rk上 给向量5kz1与5k22,=0,1,…,则经过线性插值后就得到了函 数xy。不难看出,它们都是无限元解,因此z与z是转移 矩ⅹ对应于特征值λ=的特征向量 取待定常数1,c2,e3,使当和≥21时,在每个单元上都有 u三er+cxx+g。设区域Ω的面积为S,则「2t与厂*,F*所围的区 域而积为52S,在共上的应变能等于2325(+),在 区域Ω上的总应变能为 1 K y5,19}+c232}+c352x})i A A cg1+en2t+2z2)2·'s(c3+c3)。 令 C=(e1,e2,3)1, 9 E 000 sI010 00I 18
W=5yK1y。-"BMnx1rg, (7.1) 其中Ez为3×n矩阵,F1为3×3对称知阵。令 a EIJo+ fIc=0, 因此 Fi,y 代入(7.1)得 w=2 yoK2yo- 2VGEiFIFLVo. 令 Ki'Kt--ETFi'Ei. 7.2) 我们将在下拿证明 dimK2'=Kt. 如果在O点的两条邻边土的边界条件是a=9,则方法也是 炎似的。这时象上一节一样,转移矩阵X的特征值λ均满足]λ ≤1,并且 limK=K2. 7.3) 如果在O点的两条邻边上给不同的边界条件,例如在P*上 0,在*上4=0,方法也…样,这时仍有礼<1以及(7.3) 8非齐次方程与非齐次边界亲件 在以上各节我们考察的都是齐次方程 △u=0 至于边界条件,至少它在所讨论的那一部分上也是齐次的: 19
0或 ah 对于非齐次问题,讨论起來要麻烦一些。以角点问题为例 设方程是 在O点附近的边界条件是=∫因为邻城Ω可以取得适当地 小,我不妨用简兑的函数逼近p与,下面设p在Q内是一个 常数,而∫在O点的两余邻边*,上都是线性的 在Ω上构造一个满延方程与边界条件的特解。作线性函数 t1(x,沙)=ax+by+c, 使它在边界上满足边界条件,这时\t1=0。其次作函数,使 Δu2=p并且t2在*,*上等于零。设,厂*的方程是 Arx+B:y÷C:=0,=1,2 则令 43=D(AIr+ Biv+C1)(A2x+ B2y +cs). 这时 A2=-2D(41A2+B1B2) 令 (AA2+B1B2) 即可。如果两条线段五相垂直,则AA2+B1B2=0,用二次多项 式作特解巳不可能,可以考臆三次多项式作逼近。 对干一般的边值∫与非齐次项p,寻找一个特解就更麻烦 些。求一个满足边界条件的函数是不困难的,设它是41,再作 个函数z,使 P 拆且'2在r*,r*上等于零,以+就是我们所要的特解。 2可以用级数求解,象(1.6)一样,写温无穷代数方程组 Ay:-A 其中pk是和P+△让对应的“等效节点力”。设已经求出转移矩 20