、格的定义 定义6-1.1设<A,s>是一个偏序集,如果A中任意两个元素 都有最小上界和最大下界,则称<A,≤>为格( lattice) 练习242页(1) 例1设l是所有正整数的结合,在上定义一个二元关系, 对于a2b∈l,ab当且仅当a整除b。容易验证|是↓上的一个 偏序关系,故<,|是偏序集。由于该偏序集中任意两 个元素的最小公倍数、最大公约数就是这两个元素的最小 上界和最大下界,且∈4,因此<4,P>是格。 称为正整数格 例2设(S)是给定集合S的幂集,<(S),>是一个偏序 集。由于(S)中的任意两个元素S1,S2,它们的最大下界 为S1∩S2,最小上界为S1US2,且∈(S),所以<(S), >是格
一、格的定义 称为正整数格 练习242页（1） 定义6-1.1 设<A, ≤>是一个偏序集，如果A中任意两个元素 都有最小上界和最大下界，则称<A, ≤>为格（lattice）。 例1 设I+是所有正整数的结合，在I+上定义一个二元关系|， 对于a,bI+，a|b当且仅当a整除b。容易验证|是I+上的一个 偏序关系，故< I+ ，|>是偏序集。由于该偏序集中任意两 个元素的最小公倍数、最大公约数就是这两个元素的最小 上界和最大下界，且I+，因此< I+ ，|>是格。 例2 设 (S)是给定集合S的幂集，< (S)， >是一个偏序 集。由于 (S)中的任意两个元素S1，S2，它们的最大下界 为S1∩S2 ，最小上界为S1∪S2，且 (S) ，所以< (S)， >是格
例3给定S={a,b},(S)={{o}b},{a,b},那么,格 <(S),>如图6-1.3所示。 f。b2 tai 图6-
例3 给定S={a，b}， (S)={,{a},{b},{a,b}}，那么，格 < (S)， >如图6-1.3所示
二、由格<A,s>所诱导的代数系统 定义6-1.2设<A,s>是一个格,如果在上定义两个二元运 算∨和∧,使得对于任意的a,b∈A,a∨b等于a和b的最小 上界,a∧b等于a和b的最大下界,那么,就称<A,∨,∧>为由格 <A,s所诱导的代数系统。二元运算∨和∧分别称为并运算和 交运算 通常用aVb表示a,b的上确界用a∧b表示{a,b的下 确界,∨和∧分别称为保联(i)和保交(me运算。由于对任 何a,b,因为在格中,a∨b及a∧b都是A中确定的成员,因 此∨,∧均为A上的运算。 设S={a,b},(s)={,{a}{b}a,b}由格<(S),s> 诱导的代数系统为<(S),V,∧>。其中∨为集合的并运算和 ∧为集合的交运算。如表6-11所示
二、由格<A, ≤>所诱导的代数系统 定义6-1.2 设<A, ≤>是一个格,如果在上定义两个二元运 算∨和∧ ,使得对于任意的a,b A ， a∨b等于 a和b的最小 上界, a∧b等于a和b的最大下界,那么,就称<A,∨,∧>为由格 <A, ≤>所诱导的代数系统。二元运算∨和∧分别称为并运算和 交运算。 通常用a∨b 表示{a,b}的上确界,用a∧b 表示{a，b}的下 确界,∨和∧分别称为保联(join)和保交(meet)运算。由于对任 何a，b，因为在格中，a∨b及a∧b都是A中确定的成员，因 此 ∨,∧均为A上的运算。 设S={a,b} ， (S) ={, {a},{b},{a,b}}由格< (S), > 诱导的代数系统为< (S),∨,∧>。其中∨为集合的并运算和 ∧为集合的交运算。如表6-1.1所示
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子格 定义6-1.3设<A,s是一个格,由格<A,s所诱导 的代数系统为<A,V,∧>。设BcA且B≠,如果A中 的两个运算∨和∧关于B是封闭的,则称<B,s是 <A,s>的子格。 例4例1给出了一个具体的格<I,|,由它诱 导的代数系统为<H,∨,∧>,其中aV∨b就是a,b的 最小公倍数,a∧b就是a,b的最大公约数。因为任何 两个偶数的最大公约数和最小公倍数都是偶数,所以 如果取E是正偶整数的全体,那么∨和∧关于E+是 封闭的,因此称<E+,>是<L,卜的子格
三、子格 定义6-1.3 设<A, ≤>是一个格, 由格<A, ≤>所诱导 的代数系统为<A,∨,∧> 。设BA且B≠ ，如果A中 的两个运算∨和∧ 关于B是封闭的，则称 <B, ≤>是 <A, ≤>的子格。 例4 例1给出了一个具体的格< I+ ，|> ，由它诱 导的代数系统为< I+ ,∨,∧> ，其中a∨b就是a，b的 最小公倍数，a∧b就是a，b的最大公约数。因为任何 两个偶数的最大公约数和最小公倍数都是偶数，所以， 如果取E+是正偶整数的全体，那么∨和∧关于E+ 是 封闭的，因此称 < E+ ，|>是< I+ ，|>的子格