第5章品数 5.2反函数和复合函数 5.2.1反函数 定理5.2.1设fA→B是双射函数，则f的逆关系f℃ 是B到A的双射函数。 证明：先证逆关系fC是B到A的函数。 因为f是函数，所以fC是B到A的二元关系。以下证 明B到A的二元关系fC是B到A的函数。 (I)yEB,因为fA→B是满射，所以，x∈A,使 <x,>∈f方由逆关系的定义得，<y,x>∈fC。 (2)设<y1,x1>∈，<y2,x2>∈，y=2,由逆关系的定 义知，<x1y>∈∫)<x2y2>∈，因为f是单射，所以x=x2 故fC是B到A的函数
第5章 函数 5.2反函数和复合函数 5.2.1 反函数 定理5.2.1 设 f：A→B是双射函数，则 f 的逆关系f C 是B到 A的双射函数。 证明：先证逆关系 f C是B到 A的函数。 因为 f 是函数，所以 f C是B到 A的二元关系。以下证 明B到 A的二元关系f C是B到 A的函数。 ⑴yB，因为 f：A→B是满射，所以，xA，使 x,y f，由逆关系的定义得， y,x f C 。 ⑵设y1 ,x1 f C ，y2 ,x2 f C ，y1 =y2，由逆关系的定 义知，x1 ,y1 f，x2 ,y2 f，因为f是单射，所以x1 =x2 故 f C是B到 A的函数
第5章品数 再证fC是满射。 由定理4.2.7有ran fc-=domf。又因为f是A到B的函数， 所以domf=A。于是ran fc=A。所以fC是B到A的满射。 最后证fC是单射。 设<y1,x1>∈fC,<y2,x2>∈fC且x=2,由逆关系的定义有 <1y1>∈了，<x2y2>∈又因为f是函数，必有y=y2 所以fC是单射。 这就证明了fC是双射函数
第5章 函数 再证 f C是满射。 由定理4.2.7有ran f C=dom f。又因为 f 是A到B的函数， 所以dom f =A。于是ran f C=A。所以f C是B到 A的满射。 最后证f C是单射。 设y1 ,x1 f C ，y2 ,x2 f C且x1 =x2，由逆关系的定义有 x1 ,y1 f，x2 ,y2 f，又因为f是函数，必有y1 =y2。 所以 f C是单射。 这就证明了f C是双射函数
第5章品数 定义5.2.1设fA→B是双射函数，的逆关系fC是B到A 的双射函数。称双射函数fC为f的反函数，记为：f1。 例如，设A=1,2,37,B=a,b,c7。 F<1,a>,<2,c>,<3,b> 显然，f是A到B的双射函数。的逆关系 fc=<a,1>,<c,2>,<b,3>7 是B到A的双射函数，记为f1,1是f的反函数。 又如g<1,a>,<2,a>,<3,b>也是A到B的函数，但g不 是满射，也不是单射，因而不是双射。逆关系 gC-<a,1>,<a,2>,<b,3>} 不是B到A的函数
第5章 函数 定义5.2.1 设f：A→B是双射函数，f的逆关系f C是B到 A 的双射函数。称双射函数f C为f的反函数，记为：f -1 。 例如，设A=1,2,3，B=a,b,c。 f=1, a ,2, c ,3, b 显然，f是A到B的双射函数。f的逆关系 f C=a,1,c,2,b,3 是B到A的双射函数，记为f -1 ，f –1是 f 的反函数。 又如 g=1, a ,2, a ,3,b也是A到B的函数，但g不 是满射，也不是单射，因而不是双射。逆关系 g C=a,1,a, 2,b,3 不是B到 A的函数