二、 函数展开成幂级数 直接展开法一 利用泰勒公式 展开方法 间接展开法一 利用已知其级数展开式 的函数展开 1.直接展开法 由泰勒级数理论可知，函数f(x)展开成幂级数的步 骤如下： 第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值； 第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径R; 第三步判别在收区间(-R,R)内lim R(x)是否为 n→o0 0. HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束
二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 f (x)展开成幂级数的步 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n→ 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.将函数f(x)=ex展开成x的幂级数 解：fm(x)=e,fm(0)=1(n=0,1,),故得级数 1+x 十. n 其收敛半径为 R lim =十00 n>0 n (n+1) 对任何有限数x,其余项满足 n+l <elx n>0 (n+1) (5在0与x之间) 故e=1+x+2X+ +.,x∈(-0，十00） HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) , (n) x f x = e (0) 1 ( 0,1, ), f (n) = n = 1 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 e (n +1)! n+1 x x e 故 , ! 1 3! 1 2! 1 1 x = + + 2 + 3 ++ x n + n e x x x → = n R lim ! 1 n ( 1)! 1 n + n → ( 在0与x 之间) + x 2 2! 1 + x 3 3! 1 + x ++ x n + n! 1 故得级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.将f(x)=sinx展开成x的幂级数 解：fm(x)=sin(x+n·） ro-c.02刘 n=2k (k=0,1,2,.） 得级数X-引3x-+(-1)22m1+ 其收敛半径为R=+∞，对任何有限数x,其余项满足 sin(+(n+1)) n+ Rn(x)= n+ n→o (n+1)！ (n+1)! snx=x-x3+x3-.+(-1)- 2n-1 (2n-1)x X∈(-00，+00 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) = ( ) f x n (0) = (n) f 得级数: x 其收敛半径为 R = +, 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( ( 1) ) 2 + n + (n +1)! n+1 x n = 2 k +1 (k = 0,1, 2, ) 3 3! 1 − x + −+ 5 5! 1 x (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 + sin x n → n = 2k ( 1) , k − 0 , = x − 3 1 ! x 3 + 5 1 ! x 5 −+ (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 + 机动 目录 上页 下页 返回 结束