银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第八章 多元函数微分法及其应用

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章多元函数徽分学及其应用 能保证函数在该点连续.例如 xy f(x,y)= r2+ x2+y2≠0 0 x2+y2=0 在点(0,0)有，f(0,0)=0,0,0)=0,但函数在点(0,0)并不连续。 提示： f(x,0)=0,f0,y)=0; 00=会c1=0,Qo=0明=-0. 当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时，有 lim f(x,y)=lim f(x,0)=lim 0=0; (x,y→0,0) x01 x->0 当点P(x,y)沿直线y=G趋于点(0，O)时，有 002+- lim Xy kx2。k x0x2+k2x21+k2 y=kr 因此，，m。fx,)不存在，故函数x,)在(0,0)处不连续。 (,y)→(0,0) 类似地，可定义函数=x,y)对y的偏导函数，记为 等幕，度 偏导函数的定义式：x,)=mx,y+△-fc》 △y→0 △y 二.高阶偏导数 设函数x,y)在区域D内具有偏导数 会=功等=f功， 那么在D内x,以x,)都是x,y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在， 则称它们是函数=x,)的二偏导数.按照对变量求导次序的为同有下列四个 二阶偏导数 如果函数=x,)在区域D内的偏导数x,小xy)也具有偏导数， 则它们的偏导数称为函数=x,)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数 景原器=，哥停-等-功 ax oy'oyox 第11页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 11 页 能保证函数在该点连续 例如            0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 在点(0 0)有 fx(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点(0 0)并不连续 提示 f (x, 0)0 f (0, y)0  (0, 0) [ f (x, 0)]0 dx d f x  (0, 0) [f (0, y)]0 dy d f y  当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 有 lim ( , ) lim ( , 0) lim 0 0 ( , ) (0,0) 0 0    x y  x x f x y f x  当点 P(x y)沿直线 ykx 趋于点(0 0)时 有 2 2 2 2 2 0 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim lim k k x k x k x x y x y x y kx x y          因此 lim ( , ) ( , ) (0,0) f x y x y  不存在 故函数 f(x y)在(0 0)处不连续 类似地 可定义函数 zf(x y)对 y 的偏导函数 记为 y z    y f    zy  或 f (x, y) y  偏导函数的定义式 y f x y y f x y f x y y y       ( , ) ( , ) ( , ) lim 0  二 高阶偏导数 设函数 zf(x y)在区域 D 内具有偏导数 f (x, y) x z  x    f (x, y) y z  y    那么在 D 内 fx(x y)、fy(x y)都是 x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数 zf(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个 二阶偏导数 如果函数 zf(x y)在区域 D 内的偏导数 fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数 则它们的偏导数称为函数 zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数 ( ) ( , ) 2 2 f x y x z x z x  xx         ( ) ( , ) 2 f x y x y z x z y  xy          ( ) ( , ) 2 f x y y x z y z x  yx          ( ) ( , ) 2 2 f x y y z y z y  yy        

银川科技职业学院《高等数学》教寒 第八章多元函数徽分学及其应用 其中⊙色)= 器=小品停器=.低功称为湿合偏导数 dy ax Oxoy 悬器·号器·景器· ()= 0dx’da=02 同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数， 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 例6设=2-32-041，求、是、02和2 a2、x、ax@ 解 器=32-3-，-2-92-x 盖-6， x=6y2; 2g=6x2y-9y2-1, OxO 2g=6x2y-9y2-1. Oy 由例6观察到的问题： 82z=02z Oyox axoy 定理如果函数：，)的两个二阶混合偏导数三及在区域D内连 Oyox Oxoy 续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数， 例7验证函数：=h+行消足方程祭+导-0。 证因为z=hR+y=(x2+y,所以 器等 =y 02z_x2+y2)-x2xy2-x2 r2= (x2+y22x2+y27, 原22 (x2+y22 (x2+y22 因此 02:02:x2-y2 y2-x2 022++2+7=0. 证明函数u=}满足方程++=0， 例8. r20y2 其中r=Vx2+y2+z2 第12页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 12 页 其中 ( ) ( , ) 2 f x y x y z x z y  xy          ( ) ( , ) 2 f x y y x z y z x  yx         称为混合偏导数 2 2 ( ) x z x z x         x y z x z y         2 ( )  y x z y z x         2 ( )  2 2 ( ) y z y z y         同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 例 6 设 zx 3 y 2 3xy 3 xy1 求 2 2 x z   、 3 3 x z   、 y x z    2 和 x y z    2  解 x y y y x z      2 2 3 3 3  x y xy x y z      3 2 2 9  2 2 2 6xy x z     2 3 3 6y x z     6 9 1 2 2 2       x y y x y z  6 9 1 2 2 2       x y y y x z  由例 6 观察到的问题 x y z y x z        2 2 定理 如果函数zf(x y)的两个二阶混合偏导数 y x z    2 及 x y z    2 在区域D内连 续 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数 例 7 验证函数 2 2 z ln x  y 满足方程 0 2 2 2 2       y z x z  证 因为 ln( ) 2 1 ln 2 2 2 2 z  x  y  x  y  所以 2 2 x y x x z      2 2 x y y y z      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 x y y x x y x y x x x z            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 x y x y x y x y y y y z            因此 0 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2             x y y x x y x y y z x z  例 8．证明函数 r u 1  满足方程 0 2 2 2 2 2 2          z u y u x u  其中 2 2 2 r x  y z 

银川科技职业学院《高等数学》教未 第八章多元函数徽分学及其应用 证： u=-10r=-1x=-X xr2x-2F下 0语会苦 同理 亲琴老号 因此器器警片（芳(+克 -月++9-+学-0， 3 5 -3 p2-xr2-x32 提示： 6 6 第13页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 13 页 证 2 2 3 1 1 r x r x x r r x r u            5 2 2 3 4 3 2 1 3 1 3 r x x r r r x x r u           同理 5 2 2 3 2 1 3 r y y r u      5 2 2 3 2 1 3 r z z r u      因此 ) 1 3 ) ( 1 3 ) ( 1 3 ( 5 2 5 3 2 5 3 2 2 3 2 2 2 2 2 r z r r y r r x z r u y u x u                  0 3 3( ) 3 3 5 2 5 3 2 2 2 3        r r r r x y z r  提示 6 3 2 6 3 3 2 3 2 ( ) 3 ( ) r x r r x r r r x r x r x x x u                 