银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第八章 多元函数微分法及其应用

银川科技职业学院《高等数学》教亲 第八章多元函数徽分学及其应用 Ifx,y)-0<s, 因此limf(x,y)=0. (x,y)→(0,0) 必须注意： (1)二重极限存在，是指P以任何方式趋于P时，函数都无限接近于A (2)如果当P以两种不同方式趋于Po时，函数趋于不同的值，则函数的极 限不存在. 讨论： 函数化)=+0在点0.0有无极限 0x2+y2=0 提示：当点P(x,y)沿x轴趋于点(0，O)时， lim f(x,y)=lim f(x,0)=lim 0=0; (x,y)-→>0,0) x→0 x-0 当点Px,y)沿y轴趋于点(0,0)时， lim f(x,y)=lim f(0.y)=lim 0=0. (xy0,0) y-0 y-0 当点P(xy)沿直线y=kx有 200r2+2- lim xy kx2 k =10x2+k2x2+k2· y=kx 因此，函数x,y)在(0,0)处无极限. 极限概念的推广：多元函数的极限 多元函数的极限运算法则：与一元函数的情况类似， 例5求lim sin(xy) (xy0,2)x 解：，m=m sin(xy) y=lim (x,y→0,2)X (x,-→0,2)xy sin(x)).im。ny=l×2=2. (xy0,2)xyx,y→0,2) 四.多元函数的连续性 定义3设二元函数P)=∫(x,y)的定义域为D,Po(xo)为D的聚点，且 Po∈D.如果 lim f(x,y)=f(xo:yo), (x.y)(xo-Yo) 则称函数fx,y)在点Po(xo,o)连续. 如果函数∫(x,y)在D的每一点都连续，那么就称函数∫(x,y)在D上连续， 或者称f(x,)是D上的连续函数， 二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数fP上去. 例6设x,y)=sinx,证明x,)是R上的连续函数. 证设Po(xo,o)eR2.>0,由于sinx在xo处连续，故妇心0，当r-xo水k时， 有 Isin x-sin xo<&. 以上述作Po的邻域UPo,,则当P(x,y)∈UPo,)时，显然 第6页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 6 页 |f(x y)0| 因此 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0)   f x y x y  必须注意 (1)二重极限存在 是指 P 以任何方式趋于 P0 时 函数都无限接近于 A (2)如果当 P 以两种不同方式趋于 P0 时 函数趋于不同的值 则函数的极 限不存在 讨论 函数            0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 在点(0 0)有无极限？ 提示 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 lim ( , ) lim ( , 0) lim 0 0 ( , ) (0,0) 0 0    x y  x x f x y f x  当点 P(x y)沿 y 轴趋于点(0 0)时 lim ( , ) lim (0, ) lim 0 0 ( , ) (0,0) 0 0    x y  y y f x y f y  当点 P (x y)沿直线 ykx 有 2 2 2 2 2 0 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim lim k k x k x k x x y x y x y kx x y          因此 函数 f(x y)在(0 0)处无极限 极限概念的推广 多元函数的极限 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例 5 求 x xy x y sin( ) lim ( , )(0,2)  解 y x y x y x x y x y x y     sin( ) lim sin( ) lim ( , ) (0,2) ( , ) (0,2) y xy xy (x,y) (0,2) (x,y) (0,2) lim sin( ) lim     122 四 多元函数的连续性 定义 3 设二元函数 f(P)f (x y)的定义域为 D P0(x0 y0)为 D 的聚点 且 P0D  如果 lim ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y x y x y    则称函数 f (x y)在点 P0(x0 y0)连续 如果函数 f (x y)在 D 的每一点都连续 那么就称函数 f (x y)在 D 上连续 或者称 f (x y)是 D 上的连续函数 二元函数的连续性概念可相应地推广到 n 元函数 f(P)上去 例 6 设 f(x,y)sin x 证明 f(x y)是 R 2 上的连续函数 证 设 P0(x0 y0) R 2  0 由于 sin x 在 x0 处连续 故0 当|xx0|时 有 |sin xsin x0| 以上述作 P0 的邻域 U(P0 ) 则当 P(x y)U(P0 )时 显然

银川科技职业学院《高等数学》教寒 第八章多元函数徽分学及其应用 Ix,y)f(xo,yo)=sin x-sin xol<s, 即x,y)sinx在点Po(xo,)连续.由Po的任意性知，sinx作为x,y的二元函 数在R2上连续 证对于任意的Po(x0,0)ER2.因为 lim f(x,y)=lim sinx=sin xo=f(xXo:yo), (x,y)(xo%) (x,y)→(oJ%) 所以函数x,y)=sinx在点Po(xo,o)连续.由Po的任意性知，sinx作为x,y的二 元函数在R上连续. 类似的讨论可知，一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函 数时，它们在各自的定义域内都是连续的， 定义4设函数x,y)的定义域为D,Po(xo,o)是D的聚点.如果函数x,) 在点Po(xo,)不连续，则称Po(0,o)为函数x,y)的间断点. xy 例如：函数fx,y)=x2+y x2+y2≠0 0 x2+y2=0 其定义域D=R2,O0,0)是D的聚点.x,)当(x,y)→(0,0)时的极限不存在，所以 点O(0,0)是该函数的一个间断点. 1 又如，函数：=s血+一，其定义域为D=,r+y41,圆周C y+y=1)上的点都是D的聚点，而x,)在C上没有定义，当然x,y)在C上 各点都不连续，所以圆周C上各点都是该函数的间断点 注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点。 可以证明，多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分 母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数： 多元初等函数：与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所 表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合运算而得到的， 例如x+x2-y2 1+y2 ，sin(x+y以，e+广+都是多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在 定义域内的区域或闭区域。 由多元连续函数的连续性，如果要求多元连续函数P)在点P。处的极限， 而该点又在此函数的定义区域内，则imf(P)=f(o). p→Po 例7求lim+y (x,y→，2)xy 解： 函数fx)=+y是初等函数，它的定义域为：D=化，0,0. XV P(1,2)为D的内点，故存在Po的某一邻域UPo)cD,而任何邻域都是区域，所 以UPo)是x,y)的一个定义区域，因此 me/x0=2=2 (xy),2) 第7页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 7 页 |f(x y)f(x0 y0)||sin xsin x0| 即 f(x y)sin x 在点 P0(x0 y0) 连续 由 P0 的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函 数在 R 2 上连续 证 对于任意的 P0(x0 y0)R 2  因为 lim ( , ) lim sin sin ( , ) 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y x x f x y x y x y x y x y       所以函数 f(x,y)sin x 在点 P0(x0 y0)连续 由 P0的任意性知 sin x 作为 x y 的二 元函数在 R 2 上连续 类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函 数时 它们在各自的定义域内都是连续的 定义 4 设函数 f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果函数 f(x y) 在点 P0(x0 y0)不连续 则称 P0(x0 y0)为函数 f(x y)的间断点 例如：函数            0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y  其定义域DR 2  O(0 0)是D的聚点 f(x y)当(x y)(0 0)时的极限不存在 所以 点 O(0 0)是该函数的一个间断点 又如 函数 1 1 sin 2 2    x y z  其定义域为 D{(x y)|x 2 y 2 1} 圆周 C{(x y)|x 2 y 2 1}上的点都是 D 的聚点 而 f(x y)在 C 上没有定义 当然 f(x y)在 C 上 各点都不连续 所以圆周 C 上各点都是该函数的间断点 注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点 可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分 母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数 多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所 表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合运算而得到的 例如 2 2 2 1 y x x y     sin(xy) 2 2 2 x y z e   都是多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在 定义域内的区域或闭区域 由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数 f(P)在点 P0 处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则 lim ( ) ( )0 0 f P f P p p    例 7 求 xy x y x y  ( , )(1,2) lim  解 函数 xy x y f x y  ( , ) 是初等函数 它的定义域为：D{(x y)|x0 y0} P0(1 2)为 D 的内点 故存在 P0的某一邻域 U(P0)D 而任何邻域都是区域 所 以 U(P0)是 f(x y)的一个定义区域 因此 2 3 lim ( , ) (1,2) ( , ) (1,2)    f x y f x y 

银川科技职业学院《高等数学》教業 第八章多元函数徽分学及其应用 一般地，求imfP)时，如果P)是初等函数，且Po是P)的定义域的内 P->P 点，则P)在点Po处连续，于是 lim f(P)=f(Po). P→P 例8求lim Vxy+1-1 (x,y0,0)xy 解 lim 1 (x.y)(0,0)Xy c0,0)x(Vxy+1+1) cW00)√x+1+12 多元连续函数的性质： 性质1（有界性与最大值最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数， 必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值. 性质1就是说，若P)在有界闭区域D上连续，则必定存在常数心0，使 得对一切P∈D,有P)sG且存在P1、P2∈D,使得 P,)=max{P)P∈D},P2)=min{P)P∈D}: 性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值 和最小值之间的任何值. 第8页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 8 页 一般地 求 lim ( ) 0 f P PP 时 如果 f(P)是初等函数 且 P0 是 f(P)的定义域的内 点 则 f(P)在点 P0 处连续 于是 lim ( ) ( )0 0 f P f P P P    例 8 求 xy xy x y 1 1 lim ( , ) (0, 0)     解  ( 1 1) ( 1 1)( 1 1) lim 1 1 lim ( , ) (0, 0) ( , ) (0, 0)            x y x y x y x y x y x y x y x y 2 1 1 1 1 lim ( , ) (0, 0)     x y  xy  多元连续函数的性质 性质 1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域 D 上的多元连续函数 必定在 D 上有界 且能取得它的最大值和最小值 性质 1 就是说 若 f(P)在有界闭区域 D 上连续 则必定存在常数 M0 使 得对一切 PD 有|f(P)|M 且存在 P1、P 2D 使得 f(P1)max{f(P)|PD} f(P2)min{f(P)|PD} 性质 2 (介值定理) 在有界闭区域 D 上的多元连续函数必取得介于最大值 和最小值之间的任何值

银川科技职业学院《高等数学》教寒 第八章多元函数徽分学及其应用 $8.2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数x,y),如果只有自变量x变化，而自变量y固定，这时它 就是x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数=x,y)对于x的偏导 数. 定义设函数=x,y)在点(x,o)的某一邻域内有定义，当y固定在%而x 在xo处有增量△x时，相应地函数有增量 fx0+△x,o)-xo,0): 如果极限 f+A年)-fb2 Ax->0 △r 存在，则称此极限为函数=x,y)在点(xo,)处对x的偏导数，记作 或f(oo) 例如： f0,b)=mf6+A6上f2 △x→0 △x 类似地，函数=fx,y)在点(xo,%)处对y的偏导数定义为 lim s fx0,o+△y)-f(x0%) △y→0 △y 记作 af '' 或x0,o) y=Yo 偏导函数：如果函数=x,y)在区域D内每一点（化，y)处对x的偏导数都存 在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数=x,)对自变量x的偏 导函数，记作 器盖或 偏导函数的定义式：化，)=mfx+△x以-c》 Ar0 △x 类似地，可定义函数=x,y)对y的偏导函数，记为 等高5政 偏导函数的定义式：x,)=m伍y+△-f2 △v-0 △y 求斗时，只要把y暂时看作常量而对x求导数；求斗时，只要把x暂时 Oy 看作常量而对y求导数 讨论：下列求偏导数的方法是否正确？ fo6=f.yk.f(%o.=f啡 第9页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 9 页 §82 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数 zf(x y) 如果只有自变量 x 变化 而自变量 y固定 这时它 就是 x 的一元函数 这函数对 x 的导数 就称为二元函数 zf(x y)对于 x 的偏导 数 定义 设函数 zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当 y 固定在 y0而 x 在 x0 处有增量x 时 相应地函数有增量 f(x0x y0)f(x0 y0) 如果极限 x f x x y f x y x      ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在 则称此极限为函数 zf(x y)在点(x0 y0)处对 x 的偏导数 记作 0 0 y y x x x z      0 0 y y x x x f      0 0 y y zx x x    或 ( , ) 0 0 f x y x  例如： x f x x y f x y f x y x x       ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0  类似地 函数 zf(x y)在点(x0 y0)处对 y 的偏导数定义为 y f x y y f x y y      ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0  记作 0 0 y y x x y z      0 0 y y x x y f      0 0 y y zy x x    或 fy(x0 y0) 偏导函数 如果函数 zf(x y)在区域 D内每一点(x y)处对 x的偏导数都存 在 那么这个偏导数就是 x、y 的函数 它就称为函数 zf(x y)对自变量 x 的偏 导函数 记作 x z    x f    x z  或 f (x, y) x  偏导函数的定义式 x f x x y f x y f x y x x       ( , ) ( , ) ( , ) lim 0  类似地 可定义函数 zf(x y)对 y 的偏导函数 记为 y z    y f    zy  或 f (x, y) y  偏导函数的定义式 y f x y y f x y f x y y y       ( , ) ( , ) ( , ) lim 0  求 x f   时 只要把 y 暂时看作常量而对 x 求导数 求 y f   时 只要把 x 暂时 看作常量而对 y 求导数 讨论 下列求偏导数的方法是否正确？ 0 ) 0 ( , ) ( , 0 0 y y x x x x f x y f x y     0 ) 0 ( , ) ( , 0 0 y y x x y y f x y f x y    

银川科技职业学院《高等数学》教寒 第八章多元函数徽分学及其应用 6=法fc6l’w)-- 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数x,y,)在点 (:,y,)处对x的偏导数定义为 L(x.y.-)=limI(x+Ax.y.)-(x.v) △r0 △x 其中x,y,)是函数=x,y,)的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数 的微分法问题 例1求=x2+3y+y2在点(1,2)处的偏导数： 解 -2x+3y, Ox =3x+2y. y x==21+32=8, ax y=2 x1=31+22=7. ay y=2 例2求=xsin2y的偏导数， 解华=2xsin2y,影-22c0s2y. Ox oy 例3设：=x>0,x≠)，求证：工产+L=2: y ax Inx oy 证器m等=hx +1-X+xx=x+x=25. yax Inxay y Inx 例4求r=√x2+y2+z2的偏导数. 解r =x.Or y x2+y2+22 r'oyx2+y2+2r 例5己知理想气体的状态方程为p=RT(R为常数)， 求证：2北r=-l av aT ap 证因为p=g,票=-兴 op RT v=Rr,亚-R p’aTp T=p业，a肛=- R’pR' 所以2.业=-RgRY=-T=-1 av aT op v2 p R pV 例5说明的问题：偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子分母之 商 二元函数=x,)在点(x0,)的偏导数的几何意义： fxo,o)=[x,ok是截线=x,o)在点M处切线T对x轴的斜率. xo,o)=[xo,yy'是截线=xo,)在点M6处切线T),对y轴的斜率. 偏导数与连续性：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不 第10页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 10 页 0 ( , ) [ ( , )] 0 0 0 x x x f x y dx d f x y    0 ( , ) [ ( , )] y 0 0 0 y y f x y dy d f x y    偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如三元函数 uf(x y z)在点 (x y z)处对 x 的偏导数定义为 x f x x y z f x y z f x y z x x       ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0  其中(x y z)是函数 uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数 的微分法问题 例 1 求 zx 2 3xyy 2 在点(1 2)处的偏导数 解 x y x z 2 3    x y y z 3 2    2 1 3 2 8 2 1          y x x z  3 1 2 2 7 2 1          y x y z  例 2 求 zx 2 sin 2y 的偏导数 解 x y x z 2 sin 2    x y y z 2 cos2 2     例 3 设 z  x (x0,x1) y  求证 z y z x x z y x 2 ln 1        证 1    y yx x z  x x y z y  ln    x x x x z x yx y x y z x x z y x y y y y ln 2 ln 1 ln 1 1             例 4 求 2 2 2 r x  y z 的偏导数 解 r x x y z x x r       2 2 2  r y x y z y y r       2 2 2  例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数) 求证 1         p T T V V p  证 因为 V RT p  2 V RT V p     p RT V   p R T V     R pV T   R V p T     所以 1 2              pV RT R V p R V RT p T T V V p  例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之 商 二元函数 zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 fx(x0 y0)[f(x y0)]x是截线 zf(x y0)在点 M0 处切线 Tx 对 x 轴的斜率 fy(x0 y0) [f(x0 y)]y是截线 zf(x0 y)在点 M0 处切线 Ty 对 y 轴的斜率 偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不