51、二次型及其矩阵表示 三、二次型的标准形 定义3 称只含平方项的二次型厂=∑x为标准二次型 n元标准二次型∫ 对应 n阶对角矩阵 思考:二次型∫=XTAX经过满秩线性变换X=CY后还是二次型吗? 对于二次型f=XTAX,作满秩变换X=CY, f=XTAX=(CY )A(CY=Y(CTAC)Y 而 (C TAC T=CTAT(C T)T=C TAC 所以∫=YT(CTAC)Y仍是关于新变量Y的二次型,且二次型的矩阵 为CTAC 满秩变换X=CY ∫=XTAX F=YTBY兮B=CTAC 第七章二次砖与二次曲面
定义3 第七章 二次型与二次曲面 §1、二次型及其矩阵表示 三、二次型的标准形 称只含平方项的二次型 = = n i i i f x 1 2 为标准二次型. n 元标准二次型 f n 阶对角 矩 阵 一一对应 思考：二次型 f = X TAX 经过满秩线性变换 X = CY 后还是二次型吗? 对于二次型 f = X TAX ，作满秩变换 X = CY , 则 f = X TAX = (CY ) TA(CY) = Y T(C TAC ) Y . 而 (C TAC ) T = C TAT(C T ) T = C TAC , 所以 f = Y T(C TAC ) Y 仍是关于新变量 Y 的二次型, 且二次型的矩阵 为 C TAC . 满秩变换 X = CY f = X TAX F = Y TBY B = C TAC
定义4 对于n阶实对称矩阵A和B,若存在可逆矩阵P使 P TAP= B 则称A合同于B,记作A~B 因此,二次型经满秩线性变换后所得的新二次型,其矩阵与原二次 型的矩阵是合同的. 定义5 如果满秩变换X=CY将二次型∫=XTX化成了标准二次型 ∑41,则称∑不,为∫=xAX的一个标准形 第七章二次砖与二次曲面
定义4 定义5 第七章 二次型与二次曲面 对于 n 阶实对称矩阵 A 和 B ，若存在可逆矩阵 P 使 P TAP = B 则称 A 合同于B，记作 A B 如果满秩变换 X = CY 将二次型 f = X TAX 化成了标准二次型 , = n i i yi 1 2 = n i i i y 1 2 则称 为 f = X 的一个标准形. TAX 因此，二次型经满秩线性变换后所得的新二次型，其矩阵与原二次 型的矩阵是合同的. 上一页
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一、正交变换的概念 二、正交矩阵
52.正交变换 正交变换的概念 定义1 设a是n维欧氏空间R上的线性变换,若对任意的X,Y∈R,有 (X-(Y)‖l=X-F,(*) 则称a为Rn上的正交变换 (*)可写成:‖a(X-Y)‖=‖X-Y 定理1 设σ是欧氏空间Rn上的线性变换,则下列四个条件等价互为充分必要条件) (1)a为正交变换 2)a把R的标准正交基变为标准正交基 3)|l(a川=|a,ya∈R(保持向量长度不变) (4)(a(X),(Y)=(X,Y)(保内积不变) 第七章二次型与三次曲面
定义1 §2. 正交变换 一、正交变换的概念 设 是 n 维欧氏空间 Rn 上的线性变换，若对任意的 X, YRn , 有 || (X)− (Y ) || = || X−Y || , (* ) 则称 为 Rn 上的正交变换. (*)可写成： || (X−Y ) || = || X−Y || . 第七章 二次型与二次曲面 定理1 设 是欧氏空间 Rn 上的线性变换，则下列四个条件等价(互为充分必要条件). (1) 为正交变换 . (2) 把 Rn 的标准正交基变为标准正交基 . (3) || ()|| = ||||, Rn ( 保持向量长度不变 ) . (4) ( (X ), (Y )) = ( X, Y ) ( 保内积不变 )
52.正交变换 二、正交矩阵 定义2 正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为正交矩阵 正交矩阵有如下性质 定理2 A是正交矩阵台AT=E(或A4T=E) ∠定理39 设A是正交矩阵,则 (1)A|=±1. (2)A-1=AT 定理4 设A是正交矩阵兮A的列(行)向量组为相互正交的单位向量组 第七章二次到与三次热
定义2 §2. 正交变换 二、正交矩阵 正交变换在标准正交基下所对应的矩阵称为正交矩阵. 第七章 二次型与二次曲面 定理 2 A 是正交矩阵 ATA=E ( 或AAT = E ) . 正交矩阵有如下性质： 定理 3 定理 4 设 A 是正交矩阵 ，则 (1) | A | = 1 . (2) A −1=AT . 设 A 是正交矩阵 A 的列(行)向量组为相互正交的单位向量组