例1.求圆柱螺旋线x=Rcos,y=Rsin,z=kp在对应点处的切线方程和法平面方程β=解：由于x=-Rsin,'=Rcos,z'=k,当β=时,对应的切向量为 T=(-R,O,k),故Mo(0, R, k)2-号hy-Rx切线方程0k-Rkx+Rz-Rk=0即J-R=0法平面方程 －Rx+k(z-k)=0Rx-kz+k2=0即Oe000X机动目录上页下页返回结束
z x y o 例1. 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 = − R x 法平面方程 − R x 0 2 2 R x − k z + k = 即 − = + − = 0 0 2 y R k x Rz Rk 即 解: 由于 0 y − R k z k 2 − = (0, , ) 0 2 M R k 对应的切向量为 ( ) 0 2 + k z − k = 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 T = (−R, 0, k) , 故
2.曲线为一般式的情况[F(x,y,z)= 0光滑曲线：G(x, y,z) = 0=Φ(x)当J=(F,G)且有0时.I可表示为z=y(x)o (y,z)dz1 a(F,G)dy _ 1 a(F,G)XdxJ a(x,y)dx J ?(z,x)Z曲线上一点 M(xo,yo,zo)处的切向量为T= (1, p'(xo), y'(xo))10(F,G)1 a(F,G)(z,x)(x,y)LMMOe000x机动目录上页下页返回结束
2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 : G x y z F x y z 当 0 ( , ) ( , ) = y z F G J = x y d d 曲线上一点 ( , , ) 0 0 0 M x y z , 且有 = x z d d , ( , ) 1 ( , ) z x F G J , ( , ) 1 ( , ) x y F G J 时, 可表示为 处的切向量为 = M x y M F G z x J F G J ( , ) 1 ( , ) , ( , ) 1 ( , ) 1, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 T = 1,(x0 ),(x0 )
α(F,G)a(F,G)a(F,G)或_a(y,z) |M' (z,x) |m " (x,y) |M则在点 M(xo,yo,zo)有x-Xoy-yoZZ0切线方程a(F,G)a(F,G)a(F,G)a(z, x)a(x, y) / Ma(y, z)MM(F,G)a(F,G)(x - xo)法平面方程(y- yo):a(y, z)a(z, x)MMa(F,G)(z - Zo) = 0a(x, y)MOe000?机动目录上页下页返回结束
0 0 0 x x y y z − z = − = − y z M F G ( , ) ( , ) 则在点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 切线方程 法平面方程 有 y z M F G ( , ) ( , ) z x M F G ( , ) ( , ) x y M F G ( , ) ( , ) ( ) 0 x − x x y M F G ( , ) ( , ) + z x M F G ( , ) ( , ) + ( ) 0 y − y (z − z0 ) = 0 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = M M x y M F G z x F G y z F G T ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , ( , ) ( , )
法平面方程a(F,G)a(F,G)VoMMa(z, x)(y, z)(F,G)(z- Zo)= 0Ma(x, y)也可表为x-XoZ-Zoy-yo=0F'(M)F'(M)F'(M)G(M)G'(M)G,(M)oe000x机动自录上页下页返回结束
0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) x y z x y z x x y y z z F M F M F M G M G M G M − − − = 也可表为 ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 y y z x M F G x x y z M F G − − + 法平面方程 ( ) 0 ( , ) ( , ) − 0 = + z z x y M F G 机动 目录 上页 下页 返回 结束