由定理3.1.1的4)可知:外测度确为“体积”概念的推广。非常令人遗 憾的是:外测度对一些集合而言无法满足可加性,即人们可构造这样一族互不相 交的集合S(1,2…,满足mUs1<∑ms…,于是我们只有退而求 其次,探索可以限制在什么范围内满足可加性

使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性,依测度收敛性 和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解 本节要点本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛 性.特别是依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差 异. Egorov定理和 Riesz定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz定 理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁

欧氏空间R\上的测度与积分是本课程的主要研究对象.本章讨 论欧氏空间上的若干拓扑概念,特别要熟悉欧氏空间上的开集,闭集和Bore 集, Cantor集等常见集的构造

定理3.4.1若AcR\,BcR”,且均可测,则A×B={(a,b)|a∈A,b∈B} R\×R为可测集,且m(A×B)= mAXmB 证明1)若区间IcR\,I2cR,则显然I×I2为R\×R中的区间,从 而可测。且|I×12|=|I|×|I2|

本章先介绍集合的外测度定义与性质,然后引入可测集的定义、讨论可测集 的性质,最后研究了可测集的构造。其目的在于为改造积分定义时对分割、求和 所涉及的不太规则集合求相应的“长度”、“面积”、“体积

1.实变函数论的内容 顾名思义,实变函数论即讨论以实数为变量的函数,这样的内容早在中学 都已学过,中学学的函数概念都是以实数为变量的函数,大学的数学分析,常微 分方程都是研究的以实数为变量的函数,那么实函还有哪些可学呢?简单地说: 实函只做一件事,那就是恰当的改造《数学分析》中 Riemann积分定义使得更多 的函数可积

定理5.2.1(levi定理)若n(x)为可测集E上的非负可测函数列, 且满足中(x)≤中+1(x),中n(x)→f(x)(n→+∞),则 fdx= lim 中dx n-JE 证明G(f,E)={(x,y)0≤y

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