第二章方程(组)的迭代解法 §1引言 方程「代数方程:f(x)为有理系数多项式。(求代数根历程) x)=01超越方程:除代数方程以外的方程,如fx是三 角函数、指数函数等等。 满足方程(x)=0的x值称为方程的根或解,也叫做函数f(x)的 零点。如果f(x)=(xa)g(x)且g(a)≠0,则称a为f(x)=0的m重根, m=1称为单根,m>1称为重根。 本章介绍求方程(组)的实根的数值方法之一—迭代解法 迭代解法要解决的问题: (1)确定根的初值; (2)将初值进一步精确化到需要的精度
§1 引言 方程 f(x)=0 第二章 方程（组）的迭代解法 代数方程：f(x)为有理系数多项式。 超越方程：除代数方程以外的方程，如 f(x)是三 角函数、指数函数等等。 本章介绍求方程（组）的实根的数值方法之一——迭代解法。 迭代解法要解决的问题： （1）确定根的初值； （2）将初值进一步精确化到需要的精度。 满足方程f(x)=0的x值称为方程的根或解，也叫做函数f(x)的 零点。如果f(x)=(x-a)mg(x)且g(a)≠0，则称a为f(x)=0的m重根, m=1称为单根，m>1称为重根。 （求代数根历程）
代数多项式方程求代数根的发展史 矿公元前1700年古巴比伦人已掌握一、二次方程的解法; 1545年意大利卡当( Cardano)给出三次方程公式解; 矿之后不久,卡当的学生弗瑞里( Ferrari)提出四次方程的 解法; G1799年,德国高斯( Gauss)提出代数学基本定理,说明 n次代数方程必有n个实根或复根; 1824年挪威阿贝尔(Abe)发表了“五次方程代数解法不 存在”的论文; 矿1828年法国伽罗华( Galois)提出五次及五次以上方程的 代数根不存在
代数多项式方程求代数根的发展史—— F 公元前1700年古巴比伦人已掌握一、二次方程的解法； F 1545年意大利卡当（Cardano）给出三次方程公式解； F 之后不久，卡当的学生弗瑞里（Ferrari）提出四次方程的 解法； F 1799年，德国高斯（Gauss）提出代数学基本定理，说明 n次代数方程必有n个实根或复根； F 1824年挪威阿贝尔（Abel）发表了“五次方程代数解法不 存在”的论文； F 1828年法国伽罗华（Galois）提出五次及五次以上方程的 代数根不存在
§2迭代解法 1、根的初值的确定方法 ①圈定根所在的范围; ②采取适当的数值方法确定出具有一定精度要求的初值。 定理1(根的存在定理或零点定理)设f(x)为区间[a,b]上的 单值连续函数,如果fa)f(b)<0,则[a,b内至少有一个实根 如果f(x)在[a,b]上还是单调函数,则仅有一个实根
§2 迭代解法 1、根的初值的确定方法 ① 圈定根所在的范围； ② 采取适当的数值方法确定出具有一定精度要求的初值。 定理1（根的存在定理或零点定理） 设f(x)为区间[a,b]上的 单值连续函数，如果f(a)f(b)<0，则[a,b]内至少有一个实根。 如果f(x)在[a,b]上还是单调函数，则仅有一个实根
(1)画图法 ①画出y=f(x)的略图,确定出曲线与x轴的交点的大体位置; 例1确定xlgx-1=0的初值。 y=xix 23 X
（1）画图法 ① 画出y=f(x)的略图，确定出曲线与x轴的交点的大体位置； 例1 确定 x lg x 1 0 的初值。 y x lg x 1 O 2 3 x y
(1)画图法 ②如果y=f(x)的图形不易画出,可将f(x)=0分解成(x)=2(x) 的形式,其中Q(x)与q2(x)是较容易画出图形的函数,那么两 曲线的交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。 例2确定xlgx-1=0的初值。 解:将xlgx-1=0 X 改写为lgx= y=gx 12 X
② 如果y=f(x)的图形不易画出，可将f(x)=0分解成 的形式，其中 与 是较容易画出图形的函数，那么两 曲线的交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。 1 2 (x) (x) 1 2 (x) (x) （1）画图法 例2 确定 x lg x 1 0 的初值。 解：将 改写为 x lg x 1 0 1 lg x x O 1 2 3 x y y lg x 1 y x