§7.1点估计 ●矩估计法的一般方法: ●1°由总体X的概率分布的形式计算总体矩的形式,即 H=E(X)=01,O2,…,0),l=1,2,,k, 它们是未知参数01,O2…,04的函数,k的取值与待估的未知 参数个数相同 2°将它们联立得到方程组,并解出未知参数用总体矩表示 的函数形式 3°直接以样本矩代替总体矩,A代替上式中的总体阶矩 l=1,2,k,得到个估计量日=0,(41,42…,A),l= 1,2,k,即得到k个未知参数的矩估计量 4°以样本值计算出样本矩的观察值并分别代入矩估计量, 得到各个未知参数的估计值 12/103
12/103 §7.1 点估计 矩估计法的一般方法： 1°由总体X的概率分布的形式计算总体矩的形式，即 μl＝E(Xl )＝ μl (θ1 , θ2 ,…, θk ), l＝1,2,…k， 它们是未知参数θ1 , θ2 ,…, θk的函数，k的取值与待估的未知 参数个数相同 2°将它们联立得到方程组，并解出未知参数用总体矩表示 的函数形式 3°直接以样本矩代替总体矩，Al代替上式中的总体l阶矩μl， l＝1,2,…k，得到k个估计量 ＝ (A1 , A2 ,…, Ak ) ，l＝ 1,2,…k，即得到k个未知参数的矩估计量 4 °以样本值计算出样本矩的观察值并分别代入矩估计量， 得到各个未知参数的估计值 l ˆ l
§7.1点估计 例2设总体X在[a,b上服从均匀分布其中a, b未知(X1,X2,…,Xn)是来自总体的样本求a, b的矩估计量 解1°有两个参数,先求前二阶矩 A1=E(X)= b 2=E(X )=D(X)+[E(X) (a-b)2,(a+b)2 12 2°求解未知参数的表达式,用总体矩表示 易知a+b=2 a=√12(/2-) 1-√3(/2 联立方程,解得 b=+√3(2-) 13/103
13/103 . , ( , , 的矩估计量 未 知 是来自总体 的样本 求 设总体 在 上服从均匀分布其 中 b b X X X X a X a b a n , , , ) , [ , ] , 1 2 解 ( ) 1 = E X , 2 a + b = ( ) 2 2 = E X ( ) ( ) , 12 4 2 2 a b a + b + − = 2 = D(X) +[E(X)] 易知a +b = 21 12( ) 2 b − a = 2 − 1 例2 §7.1 点估计 1°有两个参数，先求前二阶矩 2°求解未知参数的表达式，用总体矩表示 联立方程，解得 3( ) 2 a = 1 − 2 − 1 3( ) 2 = 1 + 2 − 1 b
§7.1点估计 3°以样本阶矩41,A2,代替总体阶矩1,2, 3 =A1-√3(42-412)=X ∑(X-X) t 6=A4+342-41)=X+。∑x-X), i=1 其中41=X,A2=∑X 14/103
14/103 ˆ 3( ) 2 A1 A2 A1 a = − − ( ) , 3 1 2 = = − − n i Xi X n X 3( ) ˆ 2 A1 A2 A1 b = + − ( ) , 3 1 2 = = + − n i Xi X n X 3°以样本k阶矩A1 , A2，代替总体k阶矩μ1，μ2， = = = n i A X A Xi 1 2 1 2 其 中 , §7.1 点估计
§7.1点估计 例3设总体X的均值u和方差G2都存在,且有a2>0,但u和 a2均为未知,又设X1,X2,,xXn是来自X的样本,试求p和a2 的矩估计量 解:=E(X)=H p2=E(X2)=D(X)+|E(X)2=a2+2 解得=H1 H2- 2 分别以41,A2,代替1,H2,得到和a2的矩估计量为 u=A=X 42=∑x2-X2=∑(X-X 总体均值与方差的矩估计量的表达式不因总体分布 而异,其主要原因是方差与一阶矩和二阶矩满足D(X)= E(X2)-[E(X2 15/103
15/103 §7.1 点估计 例3 设总体X的均值μ和方差σ 2都存在，且有σ 2>0，但μ和 σ 2均为未知，又设X1 ,X2 ,…,Xn是来自X的样本，试求μ和σ 2 的矩估计量 解： = = + = + = = 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) [ ( )] ( ) E X D X E X E X 解得 μ ＝μ1， σ 2＝μ2－μ1 2 分别以A1，A2，代替μ1，μ2，得到μ和σ 2的矩估计量为 ˆ = A1 = X 2 2 1 2 = A − A 2 1 1 2 X X n n i = i − = 2 1 ( ) 1 X X n n i = i − = 总体均值与方差的矩估计量的表达式不因总体分布 而异，其主要原因是方差与一阶矩和二阶矩满足D(X)＝ E(X2 )－[E(X)]2
§7.1点估计 例X~N(,a2),p,2未知,即得,0的矩估计量 ∑ (X-X) n 般地: 用样本均值X=∑X作为总体X的均值的矩估计 用样本二阶中心矩B2=∑(X-X)作为总体的方差的矩估计 n i=1 矩估计法的优点是简单易行 缺点是,当总体类型已知时,没有充分利用分布提供的信息 般场合下,矩估计量不具有唯一性 16/103
16/103 例X ~ N(, 2 ), , 2未知,即得, 2的矩估计量 ˆ = X, ( ) . 1 ˆ 1 2 2 = = − n i Xi X n 一般地: X X , n X n i 用样本均值 i 作为总体 的均值的矩估计 = = 1 1 用样本二阶中心矩 X X 作为总体X的方差的矩估计 n B n i i 2 1 2 ( ) 1 = − = §7.1 点估计 矩估计法的优点是简单易行 缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息. 一般场合下，矩估计量不具有唯一性