§7.1点估计 例设总体X的分布密度为 f(x;)=e(-0<x<+0,6>0) 20 X1,X2…,X为总体X的样本,求参数的矩估计量 解:由于fx;0只含有一个未知参数0 一般只需求出E(X便能得到硝矩估计量,但是 E(X)= f(r; 0)x= x ee dx=0 -020 即E(X)不含有故不能由此得到硝矩估计量 17/103
17/103 例 设总体X的分布密度为 x f x e − = 2 1 ( ; ) (− x +, 0) X1 ,X2 ,…,Xn为总体X的样本,求参数 的矩估计量 解：由于f(x;)只含有一个未知参数 一般只需求出E(X)便能得到的矩估计量，但是 0 2 1 ( ) = ( ; ) = = + − + − − E X xf x dx x e dx x 即E(X)不含有, 故不能由此得到的矩估计量. §7.1 点估计
§7.1点估计 为此,求 E(X)=x/(k厂22 foO xtedx=20 故令 ∑ X2=20 于是解得硝矩估计量为0 2n ∑X 18/103
18/103 为此, 求 E X x f x dx x e dx x | | 2 1 ( ) ( ; ) 2 2 2 − + − + − = = 2 0 2 2 1 = = − + x e dx x 故令 2 1 2 ˆ 2 1 = = n i Xi n = = n i Xi n 1 2 2 1 ˆ 于是解得的矩估计量为 §7.1 点估计
§7.1点估计 ●(二)最大似然估计法 最大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估 计方法 它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的,然而这 个方法常归功于英国统计学家 Fisher, Fisher在1922 年重新发现了这一方法,并首先研究了这种方法的一些 性质 caus 19/103
19/103 §7.1 点估计 (二)最大似然估计法 ⚫ 最大似然法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估 计方法 ⚫ 它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的，然而这 个方法常归功于英国统计学家Fisher， Fisher在1922 年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些 性质 Gauss Fisher
§7.1点估计 似然函数(当X为离散型随机变量时) 设总体X属离散型,其分布律PX=x}=p(x;:),θ∈⊙的形 式为已知,0为待估参数,⊙是0可能取值的范围。 设X1X2…,X是来自X的样本,则X1,X2,Xn的联合分布 律为p(x;0) ●又设x1,x2,,x是相应于样本X1X2…,Xn的一个样本值。 易知样本X1,X2,,Xn取到观察值x1,x2,xn的概率,弈即 事件{X1=x1,X2=x2,,Xn=xn}发生的概率为 L(0(x,x2…,x;0)=∏ P(x;日),O∈⊙ ●该概率随θ取值而变化,是0的函数,L(0)称为样本的似然 函数,其中x1,x2,xn是已知的样本值,它们都是常数 20/103
20/103 §7.1 点估计 似然函数（当X为离散型随机变量时） 设总体X属离散型，其分布律P{X=x}＝p(x;θ)，θ的形 式为已知，θ为待估参数，是θ可能取值的范围。 设X1 ,X2 ,…,Xn是来自X的样本，则X1 ,X2 ,…,Xn的联合分布 律为 。 又设x1 , x2 ,…, xn是相应于样本X1 ,X2 ,…,Xn的一个样本值。 易知样本X1 ,X2 ,…,Xn取到观察值x1 , x2 ,…, xn的概率，弈即 事件{X1=x1 ,X2=x2 ,…, Xn =xn }发生的概率为 L(θ)=L(x1 , x2 ,…, xn ; θ)= ，θ， 该概率随θ取值而变化，是θ的函数，L(θ)称为样本的似然 函数，其中x1 , x2 ,…, xn是已知的样本值，它们都是常数 = n i i p x 1 ( ; ) = n i p xi 1 ( ; )
§7.1点估计 R.A. Fisher引进了最大似然估计法 主要思路: ≥现在X1,X2,…,Xn取到观察值x1,x2…,x这一情况已 经发生,说明取到这一样本值的概率L(O比较大 显然如果0的取值使得出现x1,x2,…,xn的概率为小 概率事件是不合理的。 这样我们自然认为使得样本值x1,x2,,xn出现的概 率L()(它是0的函数)取值很大的0值作为待估参数 0的估计量更为合理。 21/103
21/103 §7.1 点估计 R.A.Fisher引进了最大似然估计法 主要思路： 现在X1 ,X2 ,…,Xn取到观察值x1 , x2 ,…, xn这一情况已 经发生，说明取到这一样本值的概率L(θ)比较大 显然如果θ的取值使得出现x1 , x2 ,…, xn的概率为小 概率事件是不合理的。 这样我们自然认为使得样本值x1 , x2 ,…, xn出现的概 率L(θ) (它是θ的函数) 取值很大的θ值作为待估参数 θ的估计量更为合理